P6835 [Cnoi2020] 数学期望

题意

传送门 P6835 [Cnoi2020]线形生物

题解

设 $D_i$ 为 $i\to N+1$ 步数的数学期望，$d_i$ 为与 $i$ 相连的返祖边的出度。考虑前进一步的情况，则有
$$D_i=1+\frac{1}{d_i+1}{D}_{i+1}+\frac{1}{d_i+1}\sum _{e(i,j)\in G,j\le i}{D}_j$$ 式子右侧同时出现了标号大于 $i$ 与小于等于 $i$ 的项，不易递推求解。将 $D_{i+1}$ 单独归到等式一侧，则满足其递推式中出现的项标号都小于其本身。那么不断迭代，将 $D_{i+1}$ 表示为 $D_0$ 与常数的线性组合，最后求解线性同余方程即可。但运算中不保证逆元一定存在，考虑避免除法。

重新定义 $D$，设 $D_{i,i+1}$ 为 $i\to i+1$ 步数的数学期望，则递推式为
$$D_{i,i+1}=1+\frac{1}{d_i+1}\sum _{e(i,j)\in G,j\le i}{D}_{j,i+1}$$ 对于 $j,j\le i$，有 $i$ 为 $j\to i+1$ 的必经点，根据数学期望的线性性质，有 $$D_{j,i+1}=D_{j,i}+D_{i,i+1}$$ 代入上式变形得到 $$D_{i,i+1}=d_i+1+\sum _{e(i,j)\in G,j\le i}\sum _{k\in [j,i)}{D}_k$$ 递推求解，同时维护前缀和，总时间复杂度 $O(N+M)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for (int i = l, _ = r; i < _; ++i)
const int maxn = 1000005, mod = 998244353;
int Id, N, M, D[maxn], sum[maxn];
vector<int> G[maxn];

int rd()
{
    
    
    int x = 0;
    char c = 0;
    for (; !isdigit(c); c = getchar())
        ;
    for (; isdigit(c); c = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0';
    return x;
}

int main()
{
    
    
    Id = rd(), N = rd(), M = rd();
    rep(i, 0, M)
    {
    
    
        int u, v;
        u = rd(), v = rd();
        --u, --v;
        G[u].push_back(v);
    }
    sum[0] = 0;
    rep(u, 0, N)
    {
    
    
        D[u] = G[u].size() + 1;
        for (auto &v : G[u])
            D[u] = (D[u] + (sum[u] - sum[v] + mod) % mod) % mod;
        sum[u + 1] = (sum[u] + D[u]) % mod;
    }
    cout << sum[N] << '\n';
    return 0;
}