Codeforces 1513 D. GCD and MST（链表 + MST）

传送门

---

题目大意

给出一个长度为$n(1\le n\le 2e5)$的序列$a$，初始时每相邻两个数中间都含有一条权值为$p$的边，对于一段区间$[i,j]$，若其满足 g c d ( { a k ∣ i ≤ k ≤ j } ) = m i n { a k ∣ i ≤ k ≤ j } gcd(\{a_k | i \leq k \leq j\}) = min\{a_k | i \leq k \leq j\} gcd({ ak​∣i≤k≤j})=min{ ak​∣i≤k≤j}，那么$i,j$之间有一条权值为 m i n { a k ∣ i ≤ k ≤ j } min\{a_k | i \leq k \leq j\} min{ ak​∣i≤k≤j}的边。每个数看做一个节点，求出这棵树的最小生成树的权值。

解题思路

假设对于某个点$k$来说，它能向左向右延伸的最大区间为$[i,j]$，那么大区间内含有$a_k$的所有子区间的端点之间都可以连边，或者说，问题转化为$k$能向区间内的所有点连边。

然后考虑一个点$j$如果和它左边多个点连边，我们只需要计算最小边权的那个数，或者说假设左边的最小的数在位置$i$，那么保证$a_i$是这段区间内最小的数，且$\forall k\in [i,j],a[i]|a[k]$；同理右边的最小的那个数。

考虑上面的思路，我们可以从左向右扫，维护左端点的最小数的位置$L[i]$，具体过程为（从右向左扫时同理）：

• 若$a[L[i-1]]\le a[i]$且$a[i]\%a[L[i-1]]==0$，那么$L[i]=L[i-1]$；否则$L[i]=i$。

使用克鲁斯卡尔求解最小生成树，初始的$n-1$条边加入集合。根据已经维护好的两个数组$L,R$，即代表每个数最左边的合法位置和最右边的合法位置，若某个方向的位置不是该点本身，将两点的位置作为边、端点的值作为权值加入集合，这样集合中最多只会有$3\ast n$条边，跑板子即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ENDL "\n"
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;

struct node {
    
    
    int u, v, w;

    bool operator<(const node &p) const {
    
     return w < p.w; }
};

vector<node> edges;

int a[maxn], f[maxn], L[maxn], R[maxn];

int Find(int x) {
    
     return f[x] == x ? x : f[x] = Find(f[x]); }

int main() {
    
    
    // freopen(out.txt, stdout, ) srand(time(0));
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T, n, p;
    cin >> T;
    while (T--) {
    
    
        cin >> n >> p;
        edges.clear();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            cin >> a[i];
            f[i] = i;
            if (i > 1) edges.push_back({
    
    i - 1, i, p});
        }
        L[1] = 1, R[n] = n;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
            if (a[L[i - 1]] <= a[i] && a[i] % a[L[i - 1]] == 0)
                L[i] = L[i - 1];
            else
                L[i] = i;
        }
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
    
    
            if (a[R[i + 1]] <= a[i] && a[i] % a[R[i + 1]] == 0)
                R[i] = R[i + 1];
            else
                R[i] = i;
        }
        // for (int i = 1; i <= n; i++) cout << L[i] << " ";
        // cout << endl;
        // for (int i = 1; i <= n; i++) cout << R[i] << " ";
        // cout << endl;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            if (L[i] < i) edges.push_back({
    
    L[i], i, a[L[i]]});
            if (R[i] > i) edges.push_back({
    
    i, R[i], a[R[i]]});
        }
        sort(edges.begin(), edges.end());
        int cnt = 0;
        ll ans = 0;
        for (auto p : edges) {
    
    
            int fu = Find(p.u), fv = Find(p.v);
            if (fu != fv) {
    
    
                f[fv] = fu;
                ans += p.w;
                cnt++;
            }
            if (cnt == n - 1) break;
        }
        cout << ans << ENDL;
    }
    return 0;
}