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交叉验证的定义
交叉验证（Cross Validation），有的时候也称作循环估计（Rotation Estimation），是一种统计学上将数据样本切割成较小子集的实用方法，该理论是由Seymour Geisser提出的。
在模式识别（Pattern Recognition）和机器学习（Machine Learning）的相关研究中，经常会将整个数据集合分成两个部分，分别是训练集合和测试集合。假设 X 是集合全体， A⊊X 是全集 X 的非空真子集，那么非空集合 X∖A≠∅ 则是集合 A 在全集 X 中的补集。于是可以先在 A 上面做训练和分析，而集合 X∖A 则用来做测试和验证。一开始的集合 A 被称作训练集，而它的补集 X∖A 被称作验证集或者测试集。这里有一个重要的观点就是：只有训练集才可以使用在模型的训练之中，而测试集必须在模型训练完成之后才被用来评估模型的误差。
HoldOut检验（Hold-Out Method）
这个方法是将原始的数据集合 X 随机分成两个集合 A 和 X∖A ，其中 A 作为训练集， X∖A 作为测试集。先使用训练集训练模型，然后利用测试集验证模型的效果，记录最后的分类准确率作为Hold-Out下该模型的性能指标。比方说，处理时间序列模型是否准确的时候，把整个数据集合分成前后两部分，前部分占比70%，后部分占比30%。前部分来进行时间序列模型的训练，后部分用来测试改时间序列的准确性。其准确性可以用MAE，MAPE之类的统计指标来衡量。综上所述，该方法的好处就是处理起来简单，只需要把原始数据分成两个部分即可。但是从严格意义上来说，Hold-Out检验并不算是交叉检验（Cross Validation），因为该方法没有达到交叉检验的思想，而且最后验证准确性的高低和原始数组的分类有很大的关系，所以该方法得到的结果在某些场景中并不具备特别大的说服力。
在Hold-Out检验不够有说服力的情形下，有人提出了交叉验证这一个重要思想。
交叉检验的常见形式
假设有一个未知模型有一个或者多个未知的参数，并且有一个训练集。操作的过程就是对该模型的参数进行调整，使得该模型能够最大的反映训练集的特征。如果模型因为训练集过小或者参数不合适而产生过度拟合的情况，测试集的测试效果就可以得到验证。交叉验证是一种能够预测模型拟合性能的有效方法。
彻底的交叉验证（Exhaustive Cross Validation）
彻底的交叉验证方法指的是遍历全集 X 的所有非空真子集 A 。换句话说也就是把 A 当作训练集， X∖A 是测试集。如果 X 中有 n 个元素，那么非空真子集 A 的选择方法则是 2n−2 ，这个方法的时间复杂度是指数级别的。
留P验证（Leave-p-out Cross Validation)
留 p 验证（LpO CV）指的是使用全集 X 中的 p 个元素作为测试集，然后剩下的 n−p 个元素作为训练集。根据数学上的定理可以得到， p 个元素的选择方法有 Cpn=n!/(p!⋅(n−p)!) 个，其中 n! 表示 n 的阶乘。在这个意义下，留 p 验证的时间复杂度也是非常高的。当 p=1 的时候，留1验证（Leave-one-out Cross Validation）的复杂度恰好是 C1n=n 。
不彻底的交叉验证（Non-exhaustive Cross Validation）
不彻底的交叉验证不需要考虑全集 X 的所有划分情况，这种方法是留 p 验证的一个近似验证算法。
k-fold交叉验证（K-fold Cross Validation）
在k-fold交叉验证中，全集 X 被随机的划分成 k 个同等大小的集合 A1,⋅⋅⋅,Ak ，换句话说也就是 X=A1∪⋅⋅⋅∪Ak ，并且 |A1|=⋅⋅⋅=|Ak| 。这里的 |Ai| 指的是集合 Ai 的元素个数，也就是集合的势。这个时候需要遍历 i 从1到 k ，把 X∖Ai 当作训练集合， Ai 当作测试集合。根据模型的测试统计，可以得到 Ai 集合中测试错误的结果数量 ni 。如果全集 X 的势是 n 的话，可以得到该模型的错误率是 E=∑ki=1ni/n 。
为了提高模型的精确度，可以将k-fold交叉验证的上述步骤重复 t 次，每一次都是随机划分全集 X 。在 t 次测试中，会得到 t 个模型的错误率 E1,⋅⋅⋅,Et 。定义 e=∑tj=1Ej/t ， V=∑tj=1(Ej−e)2/(t−1) ， σ=V−−√ 。这样该模型的错误率就是 e ，其方差是 σ 。
注释：
- 一般来说， k=10 的情况使用得最多。
- 当 k=2 的时候，也就是最简单的k-fold交叉验证，2-fold交叉验证。这个时候 X=A1∪A2 ，首先 A1 当训练集并且 A2 当测试集，然后 A2 当训练集并且 A1 当测试集。2-fold交叉验证的好处就是训练集和测试集的势都非常大，每个数据要么在训练集中，要么在测试集中。
- 当 k=n 的时候，也就是n-fold交叉验证。这个时候就是上面所说的留一验证（Leave-one-out Cross Validation）。
综上所述，交叉验证（Cross Validation）的好处是可以从有限的数据中获得尽可能多的有效信息，从而可以从多个角度去学习样本，避免陷入局部的极值。在这个过程中，无论是训练样本还是测试样本都得到了尽可能多的学习。
一般模型的选择过程：
在了解了交叉验证的方法之后，可以来介绍一般模型的选择过程。通过采用不同的输入训练样本，来决定机器学习算法中包含的各个参数值，称作模型选择。下面伪代码表示了模型选择的一般流程。在这个算法中，最重要的就是第三个步骤中的误差评价。
（1）准备候选的 ℓ 个模型： M1,⋅⋅⋅,Mℓ 。
（2）对每个模型 M1,⋅⋅⋅,Mℓ 求解它的学习结果。
（3）对每个学习结果的误差 e1,⋅⋅⋅,eℓ 进行计算。这里可以使用上面所说的k-fold交叉验证方法。
（4）选择误差 e1,⋅⋅⋅,eℓ 最小的模型作为最终的模型。