洛谷 P3917 异或序列

Description

给出序列 $A_1,A_2,\cdots,A_N$ ，求

$\sum_{1\le i\le j\le N} A_i\bigoplus A_{i+1}\bigoplus\cdots\bigoplus A_j$

的值。其中， $\bigoplus$ 表示按位异或。

Input

第1 行，1 个整数 $N$ 。

第2 行， $N$ 个整数 $A_1,A_2,\cdots,A_N$ 。

Output

一个数，为表达式的值。

Solution

1.可以先将n个数拆分成二进制，处理后的数组进行前缀异或处理，得到前缀异或数组。

2.得到处理后，对于区间`[L, R]`的异或值，我们可以用`XOR[L-1] ^ XOR[R]`得到

3.基于此理论，对于每一位，该位上对答案的贡献即为`[0, n]`上0的个数与1的个数与该位的基值之积

解释：

基于基本知识 0 ^ 1 = 1，求出0与1的个数，也就求出了前缀异或区间为0和1的区间，这两个区间作异或处理，得到的值为1，对答案有贡献。

特殊处理：

包含0这个特殊下标，需要将其加入到答案中，

不然会忽略掉所有1区间前方的异或值为1的区间。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define MOD 1000000007
#define intmax 2147483647
#define memmax 0x7fffffff

inline ll read()
{
    
    
    ll x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9')
    {
    
    
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
    {
    
    
        x = x * 10 + ch - 48;
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

ll n;
ll a[100005];
ll num[100005][35];

void solve()
{
    
    
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
    
    
        a[i] = read();
        for (int j = 0; j < 32; j++)
            num[i][j] = (a[i] >> j) & 1;
    }
	
    // 构建前缀异或数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < 32; j++)
            num[i][j] ^= num[i - 1][j];

    ll ans = 0;
    ll base = 1;
    for (int j = 0; j < 32; j++)
    {
    
    
        ll num0 = 0, num1 = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
    
    
            if (num[i][j])
                num1++;
            else
                num0++;
        }
        ans += num0 * num1 * base;

        base <<= 1;
    }

    cout << ans;

    
}

int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    solve();
}