[题解] 洛谷 p3909【异或之积】

前言

这道题我是找规律找的。

证明如下：

首先我们枚举(a[1]*a[2])开始的式子：

a[1]a[2]a[3]+a[1]a[2]a[4]+...+a[1]a[2]a[n].

然后提取（a[1]*a[2]），可以得到：

(a[1]a[2])(a[3]+a[4]+...+a[n]).

于是我们用一个前缀和数组f维护一下，f[i]表示前i个数的和。

for(int i=1;i<=n;i++){
    f[i]=f[i-1]+a[i];
}

所以式子就变成了：

(a[1]a[2])(f[n]-f[2])

同样我们可以得到(a[1]*a[3])开始的式子：

(a[1]a[3])(f[n]-f[3])

所以以a[1]开始的式子为：

a[1](a[2](f[n]-f[2])+a[3](f[n]-f[3])+...+a[n](f[n]-f[n]))

去括号得到：

a[1](a[2]f[n]+ a[3]f[n]+ ...+ a[n]f[n]- a[2]f[2]- a[3]f[3]- ...- a[n]*f[n])

提取一个f[n]可以得到：

a[1](f[n](a[2]+a[3]+...+a[n])-a[2]f[2]-a[3]f[3]-...-a[n]*f[n])

然后我们再定义一个数组c,c[i]表示前i个（a[i]*f[i])的和。

for(int i=1;i<=n;i++){
    c[i]=c[i-1]+(a[i]*f[i]);
}

所以式子又变为：

a[1](f[n](f[n]-f[1])-(c[n]-c[1]))

然后我们就可以通过a[1]的例子推导出公式：

ans=ans+(a[i](f[i](f[n]-f[i])-(c[n]-c[i]));

然后我们就可以O(n)枚举求出结果了。

补充

记得开long long ，然后%mod之前先加mod，（其实有些题解没有加上mod，但

是我的不加就会WA，可能我比较弱吧）

下面赋上代码（因为WA了几次所以疯狂%，略丑勿怪）：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000005
const long long p=1e9+7;
using namespace std;
long long n,ans,a[N],f[N],c[N];
inline long long read(){
  long long r=0,t=1,c=getchar();
  while(c<'0'||c>'9'){
    t=c=='-'?-1:1;
    c=getchar();
  }
  while(c>='0'&&c<='9'){
    r=r*10+c-48;
    c=getchar();
  }
  return r*t;
}//快读
int main(){
  n=read();
  for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=(read()+p)%p,f[i]=((f[i-1]+a[i])+p)%p;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    c[i]=((c[i-1]+((f[i]*a[i])+p)%p+p)%p+p)%p;
  for(int i=1;i<=n-2;i++){
    ans=((ans+(((a[i]+p)%p)*((((((f[n]-f[i])+p)%p)*(f[n]%p))%p)-(((c[n]-c[i])+p)%p+p)%p))%p)+p)%p;
  }
  ans=((ans*6)+p)%p;
  printf("%lld",(ans+p)%p);
  return 0;
}

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