【模板】LGV 引理
题目链接:luogu P6657
题目大意
给你一个二维图,然后分别有 m 个棋子,分别要从 (ai,1) 走到 (bi,n),只能从 (x,y) 走到 (x+1,y) 和 (x,y+1)。
然后问你有多少种走法,使得走过路径上的点互不相交。
思路
LGV 引理:
设 w ( P ) w(P) w(P) 为有向路径 P P P 上所有边权的乘积,然后 f ( a , b ) f(a,b) f(a,b) 为 a → b a\rightarrow b a→b 的所有有向路径边权乘积的和。
易得:
f ( a , b ) = ∑ P : a → b w ( P ) f(a,b)=\sum\limits_{P:a\rightarrow b}w(P) f(a,b)=P:a→b∑w(P)
然后列出矩阵:
A = [ f ( a 1 , b 1 ) f ( a 1 , b 2 ) ⋯ f ( a 1 , b n ) f ( a 2 , b 1 ) f ( a 2 , b 2 ) ⋯ f ( a 2 , b n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f ( a n , b 1 ) f ( a n , b 2 ) ⋯ f ( a n , b n ) ] A=\begin{bmatrix} f(a_1,b_1)&f(a_1,b_2)&\cdots&f(a_1,b_n)\\ f(a_2,b_1)&f(a_2,b_2)&\cdots&f(a_2,b_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(a_n,b_1)&f(a_n,b_2)&\cdots&f(a_n,b_n) \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎡f(a1,b1)f(a2,b1)⋮f(an,b1)f(a1,b2)f(a2,b2)⋮f(an,b2)⋯⋯⋱⋯f(a1,bn)f(a2,bn)⋮f(an,bn)⎦⎥⎥⎥⎤
然后路径不交的方案数就是它的行列式,即:
∑ p ( − 1 ) τ ( p ) ∏ i = 1 n A i , p i \sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod\limits_{i=1}^nA_{i,p_i} p∑(−1)τ(p)i=1∏nAi,pi,其中 p p p 是一个排列, τ ( p ) \tau(p) τ(p) 指的是 p p p 中的逆序对数。
至于为什么呢,其实大概感觉一下也可以看出,就类似于一个小小的容斥,那你两个交叉的话,就可以让中间的那个段两个人走法交换,就不相交了。
所以就是这个样子。
这道题:
其实还没有那么难,两个点之间就一个路径,然后 f ( a , b ) f(a,b) f(a,b) 用个组合数就有了: ( b j − a i + n − 1 n − 1 ) \dbinom{b_j-a_i+n-1}{n-1} (n−1bj−ai+n−1)
然后就搞就完事了。
代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;
int T, n, m, a[101], b[101];
ll f[101][101];
ll jc[2000001], inv[2000001];
ll ksm(ll x, ll y) {
ll re = 1;
while (y) {
if (y & 1) re = re * x % mo;
x = x * x % mo;
y >>= 1;
}
return re;
}
ll C(int n, int m) {
return jc[n] * inv[m] % mo * inv[n - m] % mo;
}
ll work() {
//高斯消元解行列式
ll zf = 1, ans = 1, tmp;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int k = i;
for (int j = i + 1; j <= m; j++)
if (f[j][i] > f[k][i]) k = j;
if (!f[k][i]) return 0;
if (k != i) swap(f[k], f[i]), zf = -zf;
for (int j = i + 1; j <= m; j++) {
if (f[j][i] > f[i][i]) swap(f[j], f[i]), zf = -zf;
while (f[j][i]) {
tmp = f[i][i] / f[j][i];
for (int k = i; k <= m; k++)
f[i][k] = (f[i][k] + f[j][k] * (mo - tmp) % mo) % mo;
swap(f[j], f[i]); zf = -zf;
}
}
ans = ans * f[i][i] % mo;
}
if (zf == -1) return (mo - ans) % mo;
return ans;
}
int main() {
jc[0] = 1;
for (int i = 1; i <= 2000000; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
inv[2000000] = ksm(jc[2000000], mo - 2);
for (int i = 2000000 - 1; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mo;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d %d", &a[i], &b[i]);
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (a[i] <= b[j]) f[i][j] = C(b[j] - a[i] + n - 1, n - 1);
else f[i][j] = 0;
printf("%lld\n", work());
}
return 0;
}