【luogu P7112】【模板】行列式求值（数学）（线性代数）（高斯消元）

【模板】行列式求值

题目链接：luogu P7112

题目大意

给你一个矩阵，求它的行列式。

行列式定义式：
$\sum _p(-1{)}^{\tau (p)}\prod _{i=1}^n{a}_{i,p_i}$，其中 $p$ 是一个排列，$\tau (p)$ 指的是 $p$ 中的逆序对数

思路

给出行列式的几个性质：

交换两行或者两列，答案变成相反数。
一行加一行乘常数答案不变。
一行同乘 $k$ 结果不变。

不难看出跟高斯消元的样子很像，考虑把高斯消元边一下形。

然后我们再想想把它变成只有 $a_{i,i}$ 有值有什么用。
你会发现只有当 p = { 1 , 2 , . . . , n } p=\{1,2,...,n\} p={ 1,2,...,n} 的时候 $\prod$ 里面才会有值，别的时候都是 $0$。
加上这个 $p$ 的 $\tau (p)=0$，所以这个的答案就是 $\prod _{i=1}^n{a}_{i,i}$。

然后乘上可能会变成相反数的 $-1$，就是答案了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

int n;
ll mo, a[601][601];

ll work() {
    
    
	ll zf = 1, ans = 1, tmp;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		int k = i;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			if (a[j][i] > a[k][i]) {
    
    
				k = j;
			}
		if (!a[k][i]) return 0;
		
		if (k != i) swap(a[i], a[k]), zf = -zf;
		
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
    
    
			if (a[j][i] > a[i][i]) swap(a[i], a[j]), zf = -zf;
			while (a[j][i]) {
    
    
				tmp = a[i][i] / a[j][i];
				for (int k = i; k <= n; k++)
					a[i][k] = (a[i][k] + a[j][k] * (mo - tmp) % mo) % mo;
				swap(a[i], a[j]); zf = -zf;
			}
		}
		ans = ans * a[i][i] % mo;
	}
	
	if (zf == -1) ans = (-ans + mo) % mo;
	return ans;
}

int main() {
    
    
	scanf("%d %lld", &n, &mo);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]), a[i][j] %= mo;
	
	printf("%lld", work());
	
	return 0;
}