题目描述：
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0] x k[1] x … x k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
分析：
方法一：动态规划
首先定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀的时候，我们有n-1种可能的选择，也就是剪出来的第一段绳子的可能长度分别为1，2，…，n-1。因此f(n)=max( f(i) x f(n-i) )，其中0<i<n 。
这是一个从上至下的递归公式。由于递归会有很多重复的子问题，从而有大量不必要的重复计算。假设绳子最初的长度为10，我们可以把绳子剪成长度分别为4和6的两段，也就是需要求解f(4)和f(6)。接下来我们可以把长度为4的绳子剪成均为2的两段，求解f(2)。然后我们也可以把长度为6的绳子剪成长度分别为2和4的两段，求解f(2)和f(4)。f(2)是f(4)和f(6)求解过程中都会遇到的。
一个更好的办法是按照从下而上的顺序计算，也就是说我们先得到f(2)、f(3)，再得到f(4)、f(5)，直到得到f(n)。
当绳子的长度为2时，只可能剪成长度都为1的两段，因此f(2)等于1。当绳子的长度为3时，可能把绳子剪成长度分别为1和2的两段或者长度都为1的三段，由于1×2>1×1×1，因此f(3)=2。
int cuttingRope(int n) {
if(n <= 1)
return 0;
if(n == 2) return 1;
if(n == 3) return 2;
vector<int>result;
result.push_back(0);
result.push_back(1);
result.push_back(2); //当2和3是被分解出来的绳子长度时 其本身是不需要再分解的，因为无论怎样分解结果都会变得比不分解小
result.push_back(3);
for(int i = 4;i <= n;i++){
int max = 0;
//比较每一个f(j)*f(i-j)的值取最大的
for(int j = 1;j <= i/2;j++){
//j<i/2是因为假如i=5 5=1+4=2+3=3+2=4+1；后面会发生重复，没必要计算
if( max < result[j] * result[i-j] )
max = result[j] * result[i-j];
}
result.push_back(max);
}
return result[n];
方法二：
贪婪算法
如果我们按照如下的策略来剪绳子，则得到的各段绳子的长度的乘积
将最大：当n >=5时，我们尽可能多地剪长度为3的绳子；当剩下的绳子
长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子。
int cuttingRope(int n) {
if(n <= 1) return 0;
if(n == 2) return 1;
if(n == 3) return 2;
int count_3 = n/3;
if(n-count_3*3 == 1) //最后剩4 2*2>3*1
count_3 = count_3 -1;
int count_2 = (n-count_3*3) / 2;
return pow(3,count_3) * pow(2,count_2);
}
现在我们来证明这种思路的正确性：
当n>=5的时候，我们可以证明2(n-2) > n并且3(n-3) > n。也就是说，当绳子剩下的长度大于或者等于5的时候，我们就把它剪成长度为3或者2的绳子段。另外，当n＞5时，3(n-3) >= 2(n-2)，因此我们应该尽可能地多剪长度为3的绳子段。
前面证明的前提是n>=5。那么当绳子的长度为4呢？在长度为4的绳子上剪一刀，有两种可能的结果：剪成长度分别为1和3的两根绳子，或者两根长度都为2的绳子。注意到2×2>1×3，同时2×2=4，也就是说，当绳子长度为4时其实没有必要剪，只是题目的要求是至少要剪一刀。
ps：你可能会想那为什么不假如剪成长度为6的绳子段呢，或者其他数字也可以呀，你怎么就知道是剪成这个数字的长度最大呢？你想如果剪成5 ，但是5其实还可以剪成2和3，2x3一定大于5自己把，6也还可以剪成很多，但是也是可以由两个3构成 ，3x3一定大于6自己。
事实上大数字都可以被拆分为多个2与3的和，以获取最大的乘积。只有 2 和 3 不需要拆分。在任何情况下，优先拆3都比优先拆2要好，只需要对于余数为1的情况进行如上特殊处理，即可得到最优解。
详细证明拆分成2和3能获取最大乘积过程的链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/108832910