剑指offer-面试题14：剪绳子 动态规划+贪心算法

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m] 。请问 k[0]k[1]…*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18
示例：
输入： 2
输出： 1
解释： 2=1+1，1x1=1

输入： 10
输出： 36
解释： 10=3+3+4，3x3x4=36

动态规划解法

建立并维护一个长度为n+1(因为数组的下标从0开始)的一维表dp，dp[i]记录长度为i的绳子被剪成m（m>1）段后各段相乘的最大乘积。从长度为2开始遍历，当绳长为i时，我们可以尝试先剪下来长度为j的一段（j>=1 && j<i；再让j和剩下的长度为i-j或dp[i-j]两者中较大的相乘（即i-j在这里可以被剪开，也可以不剪），得到一个乘积temp(i,j)；选择所有这样的乘积中最大的，就是dp[i]的值。

状态转移方程：

dp[i]=max(max(j*(i-j),j*dp[i-j]))            // j>=1 && j<i

动态规划题解代码如下：

import java.lang.Math;
class Solution {
    public int cuttingRope(int n)
    {
        int[] dp=new int[n+1]; //用于动规的记录表，dp[i]存储长度为i的绳子剪成若干段后的最大乘积
        for(int i=2;i<n+1;i++)
        {
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                int temp=Math.max(j*dp[i-j],j*(i-j));
                dp[i]=Math.max(dp[i],temp);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(n)

贪心解法

当求解每个子问题时，都有一个确定的策略，使用这个策略一定能得出子问题的最优解，进而求得整个问题的最优解，我们便可以使用贪心算法。采用贪心策略一般需要在数学上证明它的正确性

对于本题，我们可以使用以下的策略剪绳子：当n<=5时，剪绳子最大乘积易求；当n>5时，我们不断地剪下长度为3的绳子段，直到剩下的绳子长度小于等于5

接下来证明贪心策略的正确性：当n>5时，一定有 2(n-2)>n 和 3(n-3)>n，另外还有3(n-3)>2(n-2)。因此剩余绳长大于5时，我们要不断剪下长度为3的绳段。

import java.lang.Math;
class Solution {
    //基于贪心算法
    public int cuttingRope(int n)
    {
        int[] dp={0,0,1,2,4,6};
        if(n<=5)
        {
            return dp[n];
        }
        int b=n/3,y=n-(b-1)*3;
        if(y==2)
        {
            y=5;
        }
        return (int)(Math.pow(3,b-1))*Math.max(y,dp[y]);
    }
}

在代码中，我们不需要对绳子长度进行循环的减3操作，只需要用算术方法求出剩余长度小于5时可以剪下的最多次数和剩余长度，时间和空间复杂度均为常数
时间复杂度：O(1)
空间复杂度：O(1)