[每日一道小算法（十九）][贪婪算法][动态规划] 剪绳子问题（剑指offer）

前言：
这道题采用了两种解法，为了学习，所以都在此做一下记录。

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

题目解析

贪婪算法

这一道题准备使用贪婪算法，先说一下怎么实现的，当绳子长度大于等于5的时候，我们尽可能多地剪长度为2的绳子。当剩下的长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子。
验证：当n>=5的时候，我们可以证明2（n-2）>n并且3（n-3）>n。也就是说，当绳子剩下的长度大于或者等于5的时候，我们就可把他减成长度为3或者2的绳子段。另外当n>=5时，3（n-3）>= 2(n-2),因此我们应该尽可能地多剪长度为3的绳子段。

动态规划

首先我们定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀的时候，我们有n-1种可能的选择，也就是剪出来的第一大段绳子的可能长度分别为1，2，…，n-1。因此f(x)=max(f(i)*f(n-i))，其中0<i<n。
这是一个从上至下的递归公式。由于递归会有很多重复的子问题，从而有大量不必要的重复计算。一个更好的办法是按照从下而上的顺序计算，也就是我们先得到f(2)、f(3)，在得到f(4)、f(5)，直到得到f(n)。

代码样例

贪婪算法

package com.asong.leetcode.CutTheRope;

/**
 * 剪绳子 以下使用贪婪算法实现
 * 具体： 当n>=5时，尽可能快的剪长度为3的绳子，当长度剩余4米的使用，减成2*2.
 */
public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if(target == 0)
        {
            return 0;
        }
        if(target == 1)
        {
            return 1;
        }
        if(target == 2)
        {
            return 2;
        }
        //计算最多减了多少个3米
        int cutNumber = target/3;
        //
        if(target-cutNumber*3 == 1)
        {
            cutNumber=cutNumber-1;
        }
        int two = (target-cutNumber*3)/2;
        return (int)Math.pow(3.0,(int)cutNumber)*(int)Math.pow(2.0,(int)two);
    }
}

动态规划

public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if(target<2)
        {
            return 0;
        }
        if(target == 2)
        {
            return 1;
        }
        if(target == 3)
        {
            return 2;
        }
        int[] product = new int[target+1];
        product[0] = 0;
        product[1] = 1;
        product[2] = 2;
        product[3] = 3;
        int max = 0;
        for (int i = 4; i <= target; ++i) {
            max = 0;
            for (int j = 1; j <= i/2; ++j) {
                int pro = product[j] * product[i-j];
                if(max < pro)
                {
                 max = pro;   
                }
                product[i] = max;
            }
        }
        max = product[target];
        return max;
    }
}