世界冰球锦标赛【折半搜索】

>Link

luogu P4799

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>Description

给出预算$M$和$N$场比赛的票价，试求：如果总票价不超过预算，有多少种观赛方案。
如果存在以其中一种方案观看某场比赛而另一种方案不观看，则认为这两种方案不同。

$1\le N\le 40,1\le M\le 10^{18},a_i\le 10^{16}$

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>解题思路

部分分 $N\le 20$：很容易想到搜索，当前的比赛有选或不选两种选择

但是 $N\le 40$，$2^{40}$很明显会爆
所以这里引进 折半搜索 （meet in the middle），顾名思义就是在中间相遇
考虑一种问题，问从 $1$ 到 $N$ 的路径有多少条，爆搜会T 并且会进行一些无意义的搜索，就是搜到一条路，这条路往下走一定不可能到达$N$
我们把搜索的层从中间分隔开，先从 $1$ 搜到中间某点 $A$，从 $N$ 搜到中间某点 $B$，如果 $A$ 可以走到 $B$，那就有一条路径 $1>>A>>B>>N$。前提是路径都是无向的
这样时间复杂度从 $O(2^n)$ 变成了 $O(2^{n/2})$

把 $N$ 场比赛分成两部分，按照上面的思路，如果第一条“路径”的花费加上第二条“路径”的花费不超过预算，说明可行
我是直接把第一次搜索得到的结果存进数组，排序，第二次搜索时二分找对应的符合条件的第一次搜索的方案有多少个

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>代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#define LL long long
#define N 50
using namespace std;

int n, tot, T1, T2;
LL ans, m, a[N], q[2000000];

void dfs1 (int now, LL sum)
{
    
    
	if (sum > m) return;
	if (now > T1)
	{
    
    
		q[++tot] = sum;
		return;
	}
	dfs1 (now + 1, sum + a[now]);
	dfs1 (now + 1, sum);
}
void dfs2 (int now, LL sum)
{
    
    
	if (sum > m) return;
	if (now < T2)
	{
    
    
		ans += upper_bound (q + 1, q + 1 + tot, m - sum) - q - 1;
		return;
	}
	dfs2 (now - 1, sum + a[now]);
	dfs2 (now - 1, sum);
}

int main()
{
    
    
	scanf ("%d%lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf ("%lld", &a[i]);
	T1 = n / 2 + (n & 1);
	T2 = T1 + 1;
	dfs1 (1, 0);
	sort (q + 1, q + 1 + tot);
	dfs2 (n, 0);
	printf ("%lld", ans);
	return 0;
}