【搜索】C_LG_世界冰球锦标赛（暴搜 / 01 dp / 折半暴搜）

一、Problem

今年的世界冰球锦标赛在捷克举行。Bobek 已经抵达布拉格，他不是任何团队的粉丝，也没有时间观念。他只是单纯的想去看几场比赛。如果他有足够的钱，他会去看所有的比赛。不幸的是，他的财产十分有限，他决定把所有财产都用来买门票。

给出 Bobek 的预算和每场比赛的票价，试求：如果总票价不超过预算，他有多少种观赛方案。如果存在以其中一种方案观看某场比赛而另一种方案不观看，则认为这两种方案不同。

输入格式：

第一行，两个正整数 N 和 M(1≤N≤40,1≤M≤1018)，表示比赛的个数和 Bobek 那家徒四壁的财产。

第二行，N 个以空格分隔的正整数，均不超过 1016，代表每场比赛门票的价格。

输出格式：

输出一行，表示方案的个数。由于 N 十分大，注意：答案 ≤ 240。

输入输出样例

输入样例#1：
5 1000
100 1500 500 500 1000
输出样例#1：
8

样例解释

八种方案分别是：

• 一场都不看，溜了溜了
• 价格 100 的比赛
• 第一场价格 500 的比赛
• 第二场价格 500 的比赛
• 价格 100 的比赛和第一场价格 500 的比赛
• 价格 100 的比赛和第二场价格 500 的比赛
• 两场价格 500 的比赛
• 价格 1000 的比赛

有十组数据，每通过一组数据你可以获得 10 分。各组数据的数据范围如下表所示：

二、Solution

比赛的个数正常，但是财产最大有 $10^{18}$，dp 数组也不可能开这么大…不然可以用 01 dp 把它 A 掉…

方法一：暴搜

• 对于某一场比赛，可看可不看…
• 最后遍历到最后一场比赛，res++

超时与溢出：16/100 分…

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		int N;
		long[] a;
		long res;
		void dfs(int k, long m) {
			if (m < 0)
				return;
			if (k == N) {
				res++;
				return;
			}
			dfs(k+1, m);
			dfs(k+1, m-a[k]);
		}
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			N = sc.nextInt();
			int M = sc.nextInt();
			a = new long[N];
			for (int i = 0; i < N; i++) {
				a[i] = sc.nextLong();
			}
			dfs(0, M);
			System.out.println(res);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(2^N)$，
• 空间复杂度： $O(...)$，

---

方法二：01 背包

• 定义状态：
  • 场次为 $i，dp[j]$ 表示余额为 j 时，不考虑第 i 场比赛的方案数。
  • 相反也很简单…
• 思考状态转移方程：
  • 场次为 i，余额为 j 时， $dp[j] = dp[j] + dp[j-a[i]]$，当余额为 j 时，我可选择看或不看第 i 场比赛…
• 思考初始化：
  • dp[0] = 1，表示余额为 0 时，不看也是一种方案。
• 思考输出： $sum(dp[0...m])$ 表示方案数位余额为 $0-m$ 时的方案数之和。

溢出：32 分…

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			int N = sc.nextInt();
			int m = sc.nextInt();
			int[] a = new int[N+1];
			long res = 0;
			for (int i = 1; i <= N; i++) {
				a[i] = sc.nextInt();
			}
			int[] dp = new int[m+1];
			dp[0] = 1;
			for (int i = 1; i <= N; i++) {
				for (int j = m; j >= a[i]; j--)
					dp[j] = dp[j] + dp[j-a[i]];
			}
			for (int i = 0; i <= m; i++)
				res += dp[i];
			System.out.println(res);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(n)$，
• 空间复杂度： $O(n)$，

---

方法三：折半搜索

…