（2021.10.02）莫队学习&总结

前言

1. 参考资料：
   1. 引入&普通莫队：【算法讲堂】【电子科技大学】【ACM】莫队算法

简介：优雅的暴力

1. 莫队算法可以解决一类离线区间询问问题，适用性极为广泛。同时将其加以扩展，便能轻松处理树上路径询问以及支持修改操作。
2. 只能应用于离线，强制在线（上一次询问的答案，作为下一次询问的内容。即这一次询问的内容，比如用到上一次询问的答案）的话就不能用莫队。
3. 分类：
   1. 普通莫队
   2. 树上莫队
   3. 带修改莫队

普通莫队

1. 题型：能够$O(1)$转移就能用普通莫队。
   

2. 原理：优雅暴力

   1. 怎样优化的：关键是排序。
      

题目1：询问区间不同数的个数&普通莫队&（主席树||线段树||树状数组也都可以解决）&不要吝啬空间（所有数组都1e7+5都没问题，只要不MLE）

1. 传送门：D-query SPOJ - DQUERY
2. 题意：给定一个长度为$n$的数组$a$，$q$次询问，每次询问区间$[l_i,r_i]$，要求输出区间$[l_i,r_i]$内不同数的个数。
   1. $1\le n\le 3e4$
   2. $1\le a_i\le 1e6$
   3. $1\le q\le 2e5$
   4. $1\le l_i\le r_i\le n$
3. 题解：查询区间$[l,r]$
   1. 主席树和线段树/树状数组的题解：同一个数都只记录最后位置（标记为1），其他位置标记为0。
      1. 主席树：查询第$r$棵线段树的区间$[l,r]$的和即可。
      2. 线段树/树状数组：也是离线处理，$r$为第一关键字进行排序，一直更新到$r$然后查询区间$[l,r]$的和即可。
   2. 莫队：就没多少思维难度了。
      1. 维护任意状态$[L,R]$，然后暴力更新即可。
      2. 排序是关键：如果$l$在同一块，那就按$r$从小到大排序，否则就按$l$从小到大排序。——复杂度分析：因为可以$O(1)$更新，所以移动次数即为复杂度，$l$最多移动$n\ast \sqrt{n}$次，$r$最多也是移动$n\ast \sqrt{n}$次，所以复杂度是$O(n\ast \sqrt{n})$级别的。
4. 代码：

#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
using namespace std;
template <class T>
void read(T &x) {
    
    
    T res = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {
    
    
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (isdigit(c)) res = (res << 3) + (res << 1) + (c - '0'), c = getchar();
    x = res * f;
}
const int N = 1e7 + 5;
int n, a[N], q;
int id[N], st[N], ed[N], block;
int cnt[N], nowans = 0;
int ans[N];
struct node {
    
    
    int l, r, i;
    bool operator<(const node &b) const {
    
    
        if (id[l] == id[b.l])
            return r < b.r;
        else
            return id[l] < id[b.l];
    }
} s[N];

void init_block(int n) {
    
    
    block = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= block; i++)
        st[i] = n / block * (i - 1) + 1, ed[i] = n / block * i;
    ed[block] = n;
    for (int i = 1; i <= block; i++)
        for (int j = st[i]; j <= ed[i]; j++) id[j] = i;
}
void update(int x, int k) {
    
    
    if (k == 1) {
    
    
        if (cnt[a[x]] == 0) nowans++;
        cnt[a[x]]++;
    } else {
    
    
        cnt[a[x]]--;
        if (cnt[a[x]] == 0) nowans--;
    }
}
signed main() {
    
    
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    read(q);
    for (int i = 1; i <= q; i++) read(s[i].l), read(s[i].r), s[i].i = i;
    init_block(n);
    sort(s + 1, s + 1 + q);
    // int L = 1, R = n;
    // for (int i = L; i <= R; i++) update(i, 1);
    int L = 0, R = 0;
    //虽然任意区间都ok，但是上面复杂度还会大一点->但是上面不会出现负数的情况->但是出现负数好像也没事，而且上面也是可能出现负数的
    for (int i = 1; i <= q; i++) {
    
    
        while (L < s[i].l) update(L++, -1);
        while (L > s[i].l) update(--L, 1);
        //注意加减
        while (R > s[i].r) update(R--, -1);
        while (R < s[i].r) update(++R, 1);
        ans[s[i].i] = nowans;
    }
    for (int i = 1; i <= q; i++) printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}

拓展题目1：查询区间$[l,r]$的${\sum }_{i=1}^{i=k}c[i{]}^2$，其中$c[i]$表示值为$i$的个数。

1. 传送门：P2709 小B的询问
2. 提示：能O(1)转移->也是普通莫队模板题。