人工智能数学基础---不定积分3：分部积分法

一、引言

在《人工智能数学基础–不定积分2：利用换元法求不定积分》介绍了三种换元法求不定积分的方法及案例，换元积分法是基于复合函数求导的基础上推导出来的。而求导数时，除了复合函数求导外，还有一些其他求导公式，本文将介绍基于函数乘积求导法则基础上推出的分部积分法。

二、分部积分法介绍

我们知道，对于两个具有导数的连续函数u、v，其乘积的导数计算公式如下：

（uv）’ = u’v + uv’

对上述公式进行变换，可得到：

uv’ = （uv）’ - u’v

对上式两边求不定积分，可得：

∫uv’dx = uv - ∫u’vdx (3-1)

上述公式3-1称为分部积分公式，其核心思想是针对两个单独可以求不定积分的函数，二者的乘积求不定积分如果有困难，可以尝试将其中一个函数看做其原函数v的导数，这样两个函数的乘积的不定积分就变成了一个函数的原函数v的导数与另一个函数u的乘积的不定积分，从而可以尝试利用公式3-1来转换成函数u和函数v的乘积减去u的导数和v的乘积的不定积分的差。

为了简单表示，公式3-1也可以用如下公式表示：

∫udv = uv - ∫vdu (3-2)

分部积分法的一个关键是将一个不定积分的被积函数转换成一个函数u和另一个函数v的导数的乘积，并且要使得u和v选取适当，才能利用公式将其转换成比较容易求不定积分的方式。

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在u和v的选取上，一般要考虑两点：

v要容易求得；
∫vdu要比∫udv 容易求。

三、示例

3.1、幂函数和指数函数或正弦余弦函数乘积的案例

在这里插入图片描述

案例总结：

如果被积函数是幂函和正(余)弦函数或幂函数（假定幂指数是正整数）和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u。这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次。

3.2、幂函数和对数函数或反三角函数乘积的案例

在这里插入图片描述

案例总结：

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u（即运算时需要先求导的函数）。

3.3、利用分布积分法获得包含要求积分自身的表达式

在这里插入图片描述

3.4、换元法+分部积分法

在这里插入图片描述

四、小结

本节介绍了分布积分法以及对应的分部积分公式，其核心思想是针对两个单独可以求不定积分的函数，二者的乘积求不定积分如果有困难，可以尝试将其中一个函数看做其原函数v的导数，这样两个函数的乘积的不定积分就变成了一个函数的原函数v的导数与另一个函数u的乘积的不定积分，从而可以尝试利用公式3-1来转换成函数u和函数v的乘积减去u的导数和v的乘积的不定积分的差。

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