前言
之前关于森林火灾蔓延模型小伙伴们反响都还不错，今天我们对海啸进行数学建模。
在文章初始，先喂自己袋盐。
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文中涉及到的代码地址如下：
matlab源码集锦-海啸传播模型
https://download.csdn.net/download/wenyusuran/16237225
地震的形成是地壳在地球内动力地质作用下，地壳相邻地块发生缓慢的相对位移，地壳岩石发生变形，岩石应变量随地块逐步位移而增大。当岩石应变量大于岩石所能承受的强度时，岩石发生破裂，岩石弹性变形迅速恢复。这时储存于岩石中的弹性变形能突然释放，便形成地震。弹性变形地壳突然位移引起其上水体扰动，则形成涌浪、海啸。所以，海啸和地震在空间分布和发生时间上存在着密切的联系，破坏型海啸自然多分布在地震带上。
我们现在都非常清楚海啸是从深海开始的水波，通常是因为水下地震（虽然海啸也可能是由水下滑坡或火山造成的），然后向海岸传播。最初，海啸的振幅相对较小（典型的是一米左右），这似乎使它们像风浪一样无害。事实上，海啸经常在深海中通过船只，甚至没有人注意到。
海啸传播方式
由于海啸波的传播速度与海水深度的平方根有关，其传播速度降低到每小时几十公里，前进受到阻挡，就会形成十几米和几十米的浪高，冲向陆地.这种波长极长、速度极快的海啸波，一旦从深海到达了岸边，前进受到了阻挡，其全部的巨大能量，将变为巨大的破坏力量，摧毁一切可以摧毁的东西，造成巨大的灾难。
海啸是像地震一样大的事件，海啸的波长很大 - 典型的是200公里（与风浪相反，其波长通常接近100米）。特别是，海啸的波长远远大于海洋的深度（通常为2-3公里）。因此，即使在深海中，海啸的动态也基本上由浅水方程控制。这些方程的一个结果是海啸的传播速度
，可以用公式近似：
是海洋的深度，
是重力。因此，深水中的海啸移动速度非常快 - 例如每小时500公里（每小时300英里）的速度是非常典型的; 例如，在不到一天的时间内就可以从日本旅行到美国。这是由于水的不可压缩性（和质量守恒）; 非常宽和深的水波的巨大净压力（或者更准确地说，这种压力的空间变化）迫使波浪的轮廓以很大的速度水平移动。（注意，这是海啸波的相速度，而不是水分子本身的速度，它们要慢得多。）
当海啸接近海岸时，深度当然会减少，导致海啸减速，速度与深度的平方根成正比，如（1）所示。不幸的是，波浪浅滩然后迫使振幅
以由格林定律控制的反向速率增加，
至少直到幅度变得与水深相当（此时，上述近似结果会被破坏;同样，在两个（水平）空间维度中，当海啸向外扩散时，振幅会有一些衰减）。如果假设海啸开始，其初始振幅
，处于深度
，用比例关系计算振幅和深度，得海啸的振幅（和水的深度）
。因此，例如，在2公里深度处初始幅度为1米的海啸最终可以在岸边附近达到约5米的最终幅度，同时仍然以每秒约10米的速度行进（每小时35公里，或22每小时英里数），我们现在就看到了当它到达岸边时可能产生的影响。
虽然海啸太大而无法控制（至少在深海），但我们至少可以在数学上对它们进行建模，从而可以高精度地预测它们在沿海各个地方的影响。用于执行此类模型的完整方程式和数值方法有些复杂，但是通过大量的简化假设，就相对容易地得出一个已经预测了海啸传播基本特征的粗糙模型，如速度公式（1）和幅度比例法（2）。我在下面给出了这个（标准）推导。这个论点在很大程度上是启发式的; 实际上，下面的许多步骤都是非常有趣的分析问题，我们这里不做讨论。
浅水波方程
当然，海洋是一种三维流体，但为了简化分析，我们将考虑一个二维模型，其中唯一的空间变量是水平变量
和垂直变量
，其中
是平衡海平面。我们用曲线模拟海底
因此海洋深度的测量位置
。在任何时间
和位置，水的高度（与海平面相比）将由未知的高度函数
给出; 因此，在任何时候，海洋都占据了该地区
现在，我们通过在每个时间和
海洋中的每个点分配速度矢量来模拟海洋内水的运动
我们做了不可压缩性的基本假设，因此
水的密度始终是恒定的
。
根据牛顿第二定律
，速度随时间而变化。为了将此定律应用于流体，我们考虑沿着速度场流动的无穷小量的水
。因此，在时间上，我们假设这个水量占据了我们所拥有的某些无限小的区域
和某个位置
由于不可压缩性，该区域保持不变，并且该无限小部分水的质量为
。这个水体上会有两股力量; 重力和
压力场的力，由压力场
给出
。在海啸的长度和时间尺度上，我们可以忽略其他力量的影响，如粘度或表面张力。然后牛顿定律给出了
这简化了不可压缩的欧拉方程
目前，没有给出压力。然而，我们可以通过假设（垂直）流体静力平衡来简化事物，即
压力的垂直效应抵消了
重力的影响。我们还假设水面上
的压力为零。总之，这两个假设迫使压力成为静水压力
这反映了一个直观合理的事实，即海洋下一点的压力应该由该点以上的水的重量决定。
不可压缩的欧拉方程现在简化为
接下来我们将浅水近似表明水的波长远大于水的深度。特别是，我们不期望变量中的速度场发生显着变化，从而使ansatz成为可能
（这个ansatz应该用一粒盐，特别是当应用于速度的分量
时，实际上必须波动以适应海洋深度和高度函数的变化。但是，主要成分是速度是水平分量
，在实际海啸中，这确实表现为垂直不敏感。）
取的组分（4） ，和缩写为
，我们得到第一浅水波方程
这在泰勒扩展到第二个浅水波方程后简化了
等式（6），（7）在未知数中是非线性的
。然而，通过假设波的幅度与水的深度相比较小，可以近似线性化它们：
这个假设对于深海中的海啸，甚至是中等深度的海啸都是相当准确的，但是一旦海啸到达海岸（动力学模型更难以模拟），当然是不合理的。
假设（11）已经简化（7）到（近似）
至于（6），我们认为左侧的第二个词可以忽略不计，导致
为了解释为什么是启发式，我们希望这是情况，让我们做的是拟设
，并有幅度，
分别是传播相速度和波长
; 让我们也做出（合理的）假设，即空间变化比变化慢得多（即在波长范围内大致恒定），因此我们可以（对于第一次近似）替换
为
。然后我们有
然后联立等式（12）
从（11）我们期望
，因此
; 波的传播速度比流体的速度快得多。特别是，我们预计
会比
小得多，这就解释了为什么我们希望在（6）中第二个任期减少以获得（13）。
如果我们现在将上述ansatz插入（13），我们就得到了
将其与（14）相结合，我们已经得到了速度关系（1）。
为了得到关系（2），我们必须更仔细地分析ansatz。首先，我们将（13）和（12）组合成高度函数的单个方程。实际上，在时间上区分（12）然后在（13）和（1）中代入
为了解决这个波动方程，我们使用标准的正弦曲线
是缓慢变化的功能，并且
是一个小参数。插入此ansatz并提取项
，我们得出了eikonal方程
和Hamilton-Jacobi方程
从eikonal方程我们看到它
以速度传播。假设向右传播，我们就这样做了
对于Hamilton-Jacobi方程，我们使用特征方法来解决它。乘以等式，我们得到
插入（15）和
，获得
这简化为
因此，我们看到它
在特征上是不变的。在另一方面，区分（15）中，我们看到
因此
也是不变的特征。我们看到这
是不变的特征，导致比例关系
给出（2）。
源码
%Steven McHale
%Tsunami Model
%Shallow-Water Wave Equation
%Crank-Nicholson Discretization
clear;
clf;
clc;
% Constants
g = 9.81;
u0 = 0;
v0 = 0;
b = 0;
h0 = 5030;
% Define the x domain
ni = 151;
xmax = 100000;
dx = xmax/(ni-1);
x = [0:dx:xmax];
% Define the y domain
nj = 151;
ymax = 100000;
dy = ymax/(nj-1);
y = [0:dy:ymax];
% Define the wavespeed
wavespeed = u0 + sqrt(g*(h0 - b));
% Define time-domain
dt = 0.68*dx/wavespeed;
tmax = 1500;
%t = [0:dt:tdomain];
t=[1:dt:tmax];
courant = wavespeed*dt/dx;
% Build empty u, v, b matrices
u=zeros(length(x), length(y), length(t));
v=zeros(length(x), length(y), length(t));
b=zeros(length(x), length(y));
% Define h
h=zeros(length(x), length(y), length(t));
h(:,:,1) = 5000;
h((45000/100000*(length(x)-1)+1):floor(55000/100000*(length(x)-1)+1),(45000/100000*(length(y)-1)+1):floor(55000/100000*(length(y)-1)+1),1) = 5030;
%Define b
for i = 1:length(x)
if x(i) > 20001
b(:,i) = 0;
elseif x(i) < 20000
b(:,i) = 5000/20000*(20000-x(i));
end
end
% Employ Lax
for n=1:(length(t)-1)
for i=2:(ni-1)
for j=2:(nj-1)
u(i,j,n+1) = ((u(i+1,j,n) + u(i-1,j,n) + u(i,j+1,n) + u(i,j-1,n))/4)...
- 0.5*(dt/dx)*((u(i+1,j,n)^2)/2 - (u(i-1,j,n)^2)/2)...
- 0.5*(dt/dy)*(v(i,j,n))*(u(i,j+1,n) - u(i,j-1,n)) - 0.5*g*(dt/dx)*(h(i+1,j,n)-h(i-1,j,n));
v(i,j,n+1) = ((v(i+1,j,n) + v(i-1,j,n) + v(i,j+1,n) + v(i,j-1,n))/4)...
- 0.5*(dt/dy)*((v(i,j+1,n)^2)/2 - (v(i,j+1,n)^2)/2)...
- 0.5*(dt/dx)*(u(i,j,n))*(v(i+1,j,n) - v(i-1,j,n)) - 0.5*g*(dt/dy)*(h(i,j+1,n)-h(i,j-1,n));
h(i,j,n+1) = ((h(i+1,j,n) + h(i-1,j,n) + h(i,j+1,n) + h(i,j-1,n))/4)...
- 0.5*(dt/dx)*(u(i,j,n))*((h(i+1,j,n)-b(i+1,j)) - (h(i-1,j,n)-b(i-1,j)))...
- 0.5*(dt/dy)*(v(i,j,n))*((h(i,j+1,n)-b(i,j+1)) - (h(i,j-1,n)-b(i,j-1)))...
- 0.5*(dt/dx)*(h(i,j,n)-b(i,j))*(u(i+1,j,n)- u(i-1,j,n))...
- 0.5*(dt/dy)*(h(i,j,n)-b(i,j))*(v(i,j+1,n) - v(i,j-1,n));
end
end
% Define Boundary Conditions
u(1,:,n+1) = 2.5*u(2,:,n+1) - 2*u(3,:,n+1) + 0.5*u(4,:,n+1);
u(length(x),:,n+1) = 2.5*u(ni-1,:,n+1) - 2*u(ni-2,:,n+1) + 0.5*u(ni-3,:,n+1);
u(:,1,n+1) = 2.5*u(:,2,n+1) - 2*u(:,3,n+1) + 0.5*u(:,4,n+1);
u(:,length(y),n+1) = 2.5*u(:,nj-1,n+1) - 2*u(:,nj-2,n+1) + 0.5*u(:,nj-3,n+1);
v(1,:,n+1) = 2.5*v(2,:,n+1) - 2*v(3,:,n+1) + 0.5*v(4,:,n+1);
v(length(x),:,n+1) = 2.5*v(ni-1,:,n+1) - 2*v(ni-2,:,n+1) + 0.5*v(ni-3,:,n+1);
v(:,1,n+1) = 2.5*v(:,2,n+1) - 2*v(:,3,n+1) + 0.5*v(:,4,n+1);
v(:,length(y),n+1) = 2.5*v(:,nj-1,n+1) - 2*v(:,nj-2,n+1) + 0.5*v(:,nj-3,n+1);
h(1,:,n+1) = 2.5*h(2,:,n+1) - 2*h(3,:,n+1) + 0.5*h(4,:,n+1);
h(length(x),:,n+1) = 2.5*h(ni-1,:,n+1) - 2*h(ni-2,:,n+1) + 0.5*h(ni-3,:,n+1);
h(:,1,n+1) = 2.5*h(:,2,n+1) - 2*h(:,3,n+1) + 0.5*h(:,4,n+1);
h(:,length(y),n+1) = 2.5*h(:,nj-1,n+1) - 2*h(:,nj-2,n+1) + 0.5*h(:,nj-3,n+1);
end
figure(1)
%Animation of H wave propogating
for index=1:length(t)
mesh(x,y,h(:,:,index))
axis ([0 100000 0 100000 4990 5010])
title ('AERSP 423 Computer Project Part II')
xlabel('X Domain [m]')
ylabel('Y Domain [m]')
zlabel('Height [m]')
pause(0.02)
end