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01 计算机如何实现减法?
需要掌握的基础知识
在计算机中，机器数有三种表示方法：
- 对于正数: [X]原码=[X]反码=[X]补码
- 对于负数: [X]反码=[X]原码数值位取反，符号位不变。[X]补码=[X]反码+1
对于计算机来说，只认识0，1他不知道你给的是负数还是正数，如果你进行下面的运算，结果正确是你运气好【因为CPU的运算器只有加法器】
0000 0011 2
+ 0000 0010 +3
－－－－－－－ －－－－－－
0000 0101 5
如果运算左边一个是正数一个是负数,那结果就不一定了。
首先，X-Y 我们可以转换为X+(-Y)运算。
那么负数的二进制如何表示 ？
举例：5就是 0000 0101，-5就是1000 0101
计算式: 8+(-5)?【被减数大于减数】
0000 1000 8
+ 1000 0101 -5
－－－－－－－ －－－－－－－
1000 1101（-13） 3
可以看到按照正常的加法规则，得到1000 1101,转换为十进制为 -13。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。
计算机原理中有这么一句话 “计算机内部采用2的补码（Two’s Complement）表示负数。”
什么是2的补码？它是一种数值转换方法,分为两步
第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，0000 0101的相反值就是1111 1010。
第二步，将上一步得到的值加1。1111 1010就变成1111 1011。
所以，0000 0101的2的补码就是1111 1011。也就是说，-5在计算机（8位机）中就是用1111 1011表示。
说了这么多2的补码有什么好处呢？
- 2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。
现在再看-5的补码表示法:
0000 1000 8
+ 1111 1011 -5(补码形式)
－－－－－－－ －－－－－－－
1 0000 0011 3
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是1 0000 0011 。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了0000 0011，转成十进制正好是3，也就是8 + (-5) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。
计算式: 5+(-8)?【被减数小于减数】
0000 0101 5
+ 1111 1000 -8(补码形式)
－－－－－－－ －－－－－－－
1111 1101 -125
好家伙翻车了！第二种情况结果不对！！！
再来探讨一下2的补码的本质？
在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-5其实就是0-5。
已知5的二进制是0000 0101，-5就可以用下面的式子求出：
0000 0000
-0000 0101
－－－－－－－－－
因为00000000（被减数）小于0000 0101（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
10000 0000
-0000 0101
－－－－－－－－－
1111 1011
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
1111 1111
- 0000 0101
－－－－－－－－－
1111 1010
+ 1
－－－－－－－
1111 1011
2的补码的两个转换步骤就是这么来的。
为什么正数加法适用于2的补码？
实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。
Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：
X + (11111111-Y) + 1
我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1
接下来，分成两种情况讨论。
第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算(其实这块就是下面内容负数二进制转换为十进制的步骤)，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，
Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y
第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。
有了上面的推导过程再来看看这道题
计算式: 5+(-8)?【被减数小于减数】
1111 1111
-0000 1000
－－－－－－－
1111 0111
+0000 0101
－－－－－－－
1111 1100
1111 1111
-1111 1100
－－－－－－－
0000 0011
运算的结果取反得到 1000 0011，显示是-3。是不是很绕那就多看几遍。
结论:采用补码运算，可以将减法转换成加法运算。
02 理解byte的数值范围为什么是[-128 127]? 【面试基础题】
Java中所有的数字均为有符号数，最高位是符号位，因此分为两部分去计算
正数所能表示的整数范围: 0000 0000 ~ 0111 1111 【除了符号位是七个零~七个1】
做法:
将二进制转换为十进制
左边: 0000 0000 结果:0
右边: 0111 1111 结果:127
运算过程:
0 * 2^7+1 * 2^6+1 * 2^5+1 * 2^4+1 * 2^3 + 1 * 2^2+1 * 2^1+1 * 2^0 = 127
所以正数的范围:0 ~ 127
负数所能表示的整数范围: 1000 0000 ~ 1111 1111 【除了符号位是七个零~七个1】
负数二进制转换为十进制需要下面几个步骤:
1000 0000【-128的补码形式】
先减1: 0111 1111 【这里需要向高位借一位】
按位取反: 1000 0000
转换为十进制: 128
添加负号: -128
同理:1111 1111
先减1: 1111 1110
按位取反: 0000 0001
转换为十进制: 1
添加负号: -1
所以负数的范围: -128 ~ -1
结论: 两者取并集得到byte字节的数值范围为[-128 ~ 127]
反过来 如果想知道一个负数(十进制)在计算机中如何表示，可以通过上面过程的逆运算得到负数的二进制。
通过以下资料的学习 ,总结成自己的内容，希望能帮到你。