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1. 最大公约数与最小公倍数
最大公约数
定义：最大公约数是指两个数之间所有公约数最大的那个公约数。
例如：4和6的最大公约数是2；3和9的最大公约数是3。
表示：常用gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。
计算方法：常用欧几里得算法，即辗转相除法。
基于定理：设a、b均为正整数，则gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
具体实现：写成递归形式。
- 递归式：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
- 递归边界：gcd(a,0)=a
（注意：不用考虑a和b的大小顺序问题，因为在递归的时候，如果a<b，则经过一次gcd操作后带入下一轮的操作是gcd(b,a)，函数本身会完成对调操作。
int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b); } //或者，下面简洁写法 int gcd(int a,int b) { return !b:a:gcb(b,a%b); }
最小公倍数
定义：两个正整数的所有公倍数中最小的那个公倍数。
例如：4和6的最小公倍数是12；3和9的最小公倍数是9。
表示：常用lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数。
计算方法：在求最大公约数的基础上，两数的乘积除以最大公约数，即为最小公倍数。
基于定理：设a、b均为正整数，其最大公倍数为d=gcb(a,b)；因此他们的最小公倍数为(a*b)/d=(a*b)/gcd(a,b)。
具体实现：先用gcd函数求最大公倍数d，然后两数相乘再除d，为了防止溢出，采用先除再乘（因为d是公约数，所有相除定为整数）。
int gcd(int a,int b) { return !b:a:gcb(b,a%b); } int lcm(int a,int b) { int d=gec(a,b); return a/d*b; }
2.分数的四则运算
（这个分数的运算，有一个很好的例子，具体可见PAT的乙级题目1034 有理数四则运算 。）
分数表示
可以用结构体来存储分数
struct Fraction
{
int up , down;
};up代表分子，down表示分母。
用这个有三个注意事项：
- down为非负数，正负号存到up中；
- 若分数为0，则规定up=0,down=1；
- 分子分母最大公约数为1。
分数化简
分数化简要有的操作如下：
- 若分母出现负数，则分子分母同时取反；
- 若分子up为0，则分母为1；
- 若分子分母的最大公约数不是1，那么要进行约分，也就是分子分母同除最大公约数。
化简程序如下：
Fraction reducation(Fraction result)
{
if(result.down<0)
{
result.up= -result.up;
result.down= -result.down;
}
if(result.up==0)
{
result.down=1;
}
else{
int d=gcd(abs(result.up),abs(result.down));
result.up /= d;
result.down /= d;
}
return result;
}分数的运算
就按照小学生的操作，一步一步来就行。
加法
减法
乘法
除法
分数的输出
分数输出的时候注意以下几点：
- 输出前记得化简约分；
- 如果分母为1，说明是整数，直接输出分子；
- 若分子大于分母则为假分数，可以考虑化简提出整数部分；
- 以上三点之外的按正常输出即可
3. 素数问题
判断n是否是素数的时候，对于除数的选择只需要只需要验证一部分，对n开平方向下取整，验证到这里就行了。
（至于为什么时开方，是因为两数是乘积运算，倘若相加则为除法。）
bool judge(int n)
{
if(n<=1)return false;
int sqr=(int)sqrt(1.0*n);
for(int i=2;i<=sqr;i++)
if(n%i==0)return false;
return true;
}在实际的操作在，常常先将素数打表存入，然后方便后期调用查找。
打表操作可以借助vector数组来动态存储，如下：
vector<int> vi;
for(j=2;j<200001;j++)
if(judge(j))vi.push_back(j); 4. 质因子分解
由于一个数的同一个质因子可以有多个，所有在其结构体中加入对其数量的统计
struct factor{
int x , count;
}fac[10];
//fac[i]存的是第i个质因子的内容和计数求解质因子的思路和质数的思路大体一致，最多遍历到它的开方数为止，如果还有大于开方的质因子，说明是它本身。
每遍历到一个数，用while多次取余并更新继续取余，可以统计出当前质数作为因子的数量。