数论进阶-常见数论函数
参考资料：洛谷2018网校夏季省选基础班SX-3数论进阶课程及课件
一、数论函数的定义
数论函数指定义域为正整数集的函数
二、积性函数与完全积性函数
2.1 数论函数的定义
对于一个数论函数 \(f(x)\)，若 \(\forall~a,b~\in~Z^+,s.t.~~a~\perp~b\) 满足 \(f(ab)~=~f(a)~\times~f(b)\)，则称 \(f(x)\) 为一个积性函数
若 \(\forall~a,b~\in~Z^+\)，都有 \(f(ab)~=~f(a)~\times~f(b)\)，则称 \(f(x)\) 是一个完全积性函数
2.2 积性函数的性质
若 \(f(x)\) 是一个积性函数，且 \(x\) 的唯一分解式为 \(x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~\dots~p_k^{c_k}\)，则 \(f(x)~=~\prod_{i=1}^{k}~f(p_i^{c_i})\)
对于证明，显然每一项之间互质，于是按照积性函数的定义即可证明
注意这个性质是 \(f(x)\) 是积性函数的充要条件
三、简单的常见数论函数
3.1 欧拉函数
设 \(\phi(x)\) 为在模 \(x\) 域下的简化剩余系大小，称为欧拉函数，显然欧拉函数是一个数论函数。并且欧拉函数是一个积性函数。
证明留作作业我不会
3.2 幺元函数
幺元函数 \(e(x)~=~[x~=~1]\)。我们约定中括号返回一个布尔量，中括号内表达式为真返回\(1\)，否则返回\(0\)
3.3 常函数 1
常函数 \(one(x)~=~1\)。不管自变量如何取值函数值恒为 \(1\)
3.4 标号函数
标号函数 \(id(x)~=~x\)。即返回自变量本身
3.5 除数函数
\(\sigma(k,x)~=~\sum_{d \mid x} d^k\)
当 \(k~=~1\) 时，该函数表示 \(x\) 的因子之和
当 \(k~=~0\) 时，该函数表示 \(x\) 的因子个数。
当 \(k\) 省略时默认为 \(1\)
容易证明上面五个函数都是积性函数，除第一个和第五个外都是完全积性函数
四、莫比乌斯函数
4.1 莫比乌斯函数的定义
约定莫比乌斯函数的符号为 \(\mu\)。以下设 \(x\) 的唯一分解式为 \(x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~\dots~p_k^{c_k}\)。
则莫比乌斯函数为
\[\mu(x)~=~\begin{cases} 1 &\ x~=~1\\ (-1)^m &\ \forall i~\in[1,k],c_i~=~1\\ 0 &\ otherswise \end{cases}\]
显然 \(\mu(x)~=~\prod_{i=1}^k \mu(p_{i}^{c_i})\)
于是莫比乌斯函数是一个积性函数。容易验证它不是一个完全积性函数。
4.2 性质
\(\sum_{d \mid n}\mu(d)~=~[n~=~1]\)
证明
\(n~=~1\) 时显然成立，下证 \(n~\neq~1\) 的情况
设 \(n\) 的唯一分解式为 \(n~=~\prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i}\)
设 \(n_0~=~\prod_{i=1}^{k} p_i\)。即 \(n_0\) 是 \(n\) 最大的不含平方因子的因数
\(\forall d\mid n~\land~\mu(d)~\neq~0\) 显然 \(d \mid n_0\)
当 \(d\) 不含 \(n\) 的质因子 \(p_0\) 时，有
\[\mu(dp_0)~=~\mu(d)~\times~\mu(p_0)~=~-\mu(d)\]
考虑非 \(n_0\) 的因子的数，因为含有平方因子，对答案都没有贡献，于是有
\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~\sum_{d \mid~n_0} \mu(d)\]
我们将这些数 \(d\) 分成两类，第一类含有 \(p_0\) ，第二类不含 \(p_0\)。显然这两类有一一对应关系。因为第一类的每个数乘 \(p_0\) 就可以得到第二类中的所有数
于是
\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~\sum_{d \mid~n_0} \mu(d)~=~\sum_{d \mid \frac{n_0}{p_0}} (\mu(d)+\mu(dp_0))~=~~\sum_{d \mid \frac{n_0}{p_0}} (\mu(d)-\mu(d))~=~0\]
证毕
五、狄利克雷卷积
5.1 狄利克雷卷积的定义
设 \(f\) 和 \(g\) 都是数论函数，定义 \(f\) 和 \(g\) 的狄利克雷卷积为 \(h\)，记为 \(h~=~f*g\)
定义 \(h(z)~=~\sum_{x \times y = z} f(x)~\times~g(y)\)
显然狄利克雷卷积拥有交换律和结合律以及乘法对加法的分配律
5.2 函数的积性
若 \(f\) 和 \(g\) 都是积性函数，则 \(h\) 为积性函数
证明：
设 \(n\) 的唯一分解式为 \(n~=~\prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i}\)
于是有
\[\begin{align} h(n)~ & =~\sum_{i_1=0}^{c_1}~\sum_{i_2 = 0}^{c_2}~\dots~\sum_{i_k=0}^{c_k} (f(\prod_{j=1}^k p_j^{i_j})~\times~g(\prod_{j=1} p_j^{c_j-i_j}))~~(定义)\\ & =~\sum_{i_1=0}^{c_1}~\sum_{i_2 = 0}^{c_2}~\dots~\sum_{i_k=0}^{c_k} (\prod_{j=1}^k f(p_{j}^{i_j})~\times~g(p_{j}^{c_j-i_j}))~~(积性函数的性质)\\ & =~\prod_{s=1}^{k}~\sum_{i_s=0}^{c_s} (f(p_s^{i_s})~\times~g(p_s^{c_s-i_s}))~~(求和变换)\\ & =~\prod_{s=1}^{k} h(p_s^{c_s})~~(狄利克雷卷积的定义) \end{align} \]
根据积性函数的性质，狄利克雷卷积为一个积性函数
5.3 对因数求和函数的可卷性 \((5.3.1)\)
若 \(g(n)~=~\sum_{d \mid n} f(d)\)，则 \(g~=~f*one\)。其中 \(one\) 为常函数 \(1\)
证明上，依照狄利克雷卷积的定义，等价于每一项都乘 \(1\)，对答案不产生影响。
5.4 常见数论函数的狄利克雷卷积
5.4.1莫比乌斯函数
莫比乌斯函数的性质
\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~0\]
可以改写为
\[\mu~*~one~=~e\]
\(e\) 为前文提到的幺元函数
5.4.2欧拉函数
有性质
\[\phi~*~one~=~id\]
即
\[\sum_{d \mid n} \phi(d)~=~n\]
证明：
引理(5.4.2.1)：
\(\forall~p~\)为质数，\(r~\in~Z^+\)，都有\(\phi(p^r)~=~(p-1)~\times~p^{r-1}\)。
证明：
由于\(p\)是一个质数，所以\(~1~\sim~(p^r-1)~\)中有且仅有\(i~\times~p,~i~\in~(0,p^{r-1})~\)与\(p^r\)互质。
于是\(\phi(p^r)~=~p^r~-~p^{r-1}~=~p^{r-1}~\times~(p~-~1)~\)。
引理证毕。
欲证原式，即证
\[\sum_{d \mid p^k} \phi(d)~=~p^k\]
考虑 \(p^k\) 的因子有且仅有 \(p^s~,~s~\in~[0,k]\)
于是欲证上式即证
\[\sum_{i=0}^{k} \phi(p^i)\]
根据引理，上式正确性显然。
证毕
5.5 例题
给定积性函数 \(f\) 和 \(g\)，求 \(f*g\) 的前 \(n\) 项
枚举直接暴力枚举 \(f\) 的前 \(n\) 项，然后枚举 \(g\) 的对应项。假如计算 \(f_i~\times~g_j\) 的贡献，则一定满足 \(i~\times~j~\leq~n\)，于是 \(j~\leq~\frac{n}{i}\)。根据调和级数，复杂度 \(O(n \log n)\)