直观理解梯度与散度（哈密尔顿算子 gradient，diverse）

零、哈密尔顿算子：

设有n元函数：

$f(x_1,x_2,...,x_n)$

设其对于每一维的一阶、二阶偏导数存在

哈密尔顿算子：

$\nabla$ ，是对某一物理量在三个坐标方向的偏导数的矢量和的操作，定义如下：

$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\textbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\textbf{k}$

（我们也可以推广到多维情况）

可以看到所谓“算子”并不是一个具体数值，而是一种操作、运算

一、梯度

梯度是多元函数的一次偏导的矢量和，表示函数的变化方向及其大小，具体定义如下：

n元函数f的梯度为：

$grad f=\left[ \frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n} \right ]$

也记作 $\nabla f$ （读作Nabla）

可见，梯度是一个矢量

二、散度

散度是多元函数二次偏导的代数和，表示函数梯度的发散的强弱程度，具体定义如下：

n元函数f的散度为：

$divf=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2f}{\partial x^2_i}$

然后对f的梯度再求一次梯度，因为梯度是对函数每一维求偏导再点乘其单位向量，以第一维为例：

$\frac{\partial divf}{\partial x_1}=\left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2_1},\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1},\cdots,\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} \right ]$

然后用所得的偏导数乘以第一维的单位向量。因为其他维的单位向量与第一维的单位向量正交，所以只剩下第一项：

$\frac{\partial divf}{\partial x_1}\cdot\textbf{e}_1=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2_1}$

其它维度道理相同。

因此，对梯度这一矢量再做梯度得到的是标量，散度，所以散度也记作 $\nabla\cdot\nabla f=\nabla^2f=\Delta f$ （读作Delta）

三、梯度与散度

梯度是一次偏导的矢量和，代表函数的变化方向与大小。

散度是二次偏导的代数和，代表函数梯度矢量场的发散的强度。

梯度容易理解，可以理解成斜率、切线等等。

然后是散度，我们从一元函数理解散度，设有一元函数 $f(x)=x^3+x$ ，易知其一阶、二阶导数分为 $f'(x)=3x^2+1,f''(x)=6x$

讨论这个一元函数的梯度与导数。

其梯度为： $\nabla f=(3x^2+1)e_x$ ， $e_x$ 是x轴的单位向量，方向与x轴的指向相同。

其散度为： $\Delta f=6x$

可见，梯度的方向始终不变，与x轴的方向相同；

当x<0时，梯度的模值单调递减；当x>0时，梯度的模值单调递增。

那么，x<0时，散度小于0，梯度朝反方向变化，相当于x<0的区间对这个矢量有“吸收”的作用，使其不断朝反向变化。

同理，x<0时，散度大于0，梯度朝同方向变化，相当于x>0的区间对这个矢量有“发散”的作用，使其不断朝同向变化。

可以推进到多元函数的情况，不同的是，多元函数的梯度是多个维度的矢量和，因此要对各个维度讨论，最后的加和表示这个点对于矢量是“吸收”还是“发散”。

从函数本身的值的变化不好从物理意义理解散度，而从函数的梯度角度更容易直观理解。