树的概念与二叉树基础内容

一、树和二叉树的定义

1、树的定义

树是n（n≥0）个结点的有限集，n=0时称为空树；
对于非空树（n≠0）而言：
（1）有且仅有一个称为根的结点；
（2）除根节点以外的其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm,其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树；

2、树的基本术语

（1）结点的度： 结点拥有的子树数称为结点的度；
（2）树的度： 树的度是树内结点度的最大值；
（3）叶子结点： 度为0的结点，也叫做终端结点；
（4）双亲和孩子： 结点的子树的根称为该结点的孩子，相应的，该结点
称为孩子的双亲；
（5）层次： 结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层
（6）树的深度： 树中结点的最大层次称为树的深度或高度；

3、二叉树的定义

二叉树是n(n≥0)个结点所构成的集合，n=0时称为空树；
对于非空树（n≠0）而言：
（1）有且仅有一个称为根的结点；
（2）除根节点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，分别称为T的左子树和右子树。且T1和T2本身又都是二叉树；
注意： 二叉树与树的区别：
二叉树不是树的特例，他们是两个不同的数据结构；
（1）二叉树每个结点至多有两个子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）
（2）二叉树的子树有左右之分，其次序不能颠倒。

二、二叉树的性质

性质1： 在二叉树的第i层上至多2^(i-1)个结点（i>=1)。
性质2： 深度为k的二叉树结点至多有2^k-1个结点（k>=1)。
性质3： 对任何一棵二叉树T，如果其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2,则n0=n2+1;（度为0的结点比度为2的结点个数多一个）
推广： 在这里插入图片描述

性质4： 具有n个结点的完全二叉树的深度为：[以2为底n的对数]+1。
性质5 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（每层从左到右），则对任意结点i(1<=i<=n)有：
（1）如果i=1,则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,其双亲PARENT(I)是结点[i/2];
(2)如果2i>n,则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子LCHILD(I)是结点2i；
（3）如果2i+1>n,则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1。

三、满二叉树和完全二叉树

1、满二叉树： 深度为k且含有2^k-1个结点的二叉树
形如：
在这里插入图片描述
满二叉树的特点：
每一层上的结点数都是最大的结点数，，即每一层i的结点数都具有最大值2^(i-1)。所有叶子结点都在最大层上。

2、完全二叉树： 深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点深度都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应，称之为完全二叉树
形如：
在这里插入图片描述
完全二叉树的特点：
（1）叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；
（2）对任一结点，若其右分支下的子孙最大层次为 l，则其左分支下的子孙最大层次必为 l 或者 l+1。

四、二叉树的存储结构

1、顺序存储结构

#define MAXTSIZE 100
typedef TElemType SqBiTree[MAXTSIZE];
SqBiTree bt;

在这里插入图片描述
由上图可知，顺序存储结构存在存储空间浪费，因此顺序存储结构仅适用于完全二叉树，对于一般的二叉树，更适合采用链式存储结构
2、链式存储结构

typedef struct BiTNode{
    
    
  TElemType data;         //数据域
  struct BiTNode *lchild,*rchild;  //左右子树指针
}BiTNode,*BiTree;

在这里插入图片描述

五、创建二叉树（先序遍历的顺序）

BiTree CreateBiTree()
{
    
    
	BiTree T;
	char ch;
	if ((ch = getchar()) == '#')T = NULL;
	else
	{
    
    
		T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
		T->data = ch;
		T->lchild = CreateBiTree();
		T->rchild = CreateBiTree();
	}
	return T;
}