题面
设六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，O是六边形的中心，除了六边形的每一条边，可从点O到每个顶点连一条线段，共得到12条长度为1的线段.一条路径是指从O出发，沿着线段最后又回到O.问：长度为2003的路径共有多少条?
解答
~~~~~ 设 a n a_n an表示从点O到点O的长度为n的路径条数， b n b_n bn表示从点A到O的长度为n的路径条数，则
~~~~~ ~~~~~ ~~~~~ { a n = 6 b n − 1 , b n = a n − 1 + 2 b n − 1 . \begin{cases} a_n=6b_{n-1}, \\b_n=a_{n-1}+2b_{n-1}. \end{cases} { an=6bn−1,bn=an−1+2bn−1.
~~~~~ 对 n ∈ Z + n∈Z_+ n∈Z+恒成立.
~~~~~ 可以得到 a n + 2 − 2 a n + 1 − 6 a n = 0 a_{n+2}-2a_{n+1}-6a_n=0 an+2−2an+1−6an=0，有特征方程 x 2 − 2 x − 6 = 0. x^2-2x-6=0. x2−2x−6=0.
~~~~~ 得， x = 1 + 7 o r x = 1 − 7 . x=1+\sqrt7~or~x=1-\sqrt7. x=1+7 or x=1−7.
~~~~~ 因此， a n = A ( 1 + 7 ) n + B ( 1 − 7 ) n , 由 于 a 0 = 1 , a 1 = 0 , 得 ， a_n=A(1+\sqrt7)^n+B(1-\sqrt7)^n,由于a_0=1,a_1=0,得， an=A(1+7)n+B(1−7)n,由于a0=1,a1=0,得，
~~~~~ ~~~~~ ~~~~~ { 1 = A + B 0 = A ( 1 + 7 ) + B ( 1 − 7 ) \begin{cases} 1=A+B \\0=A(1+\sqrt7)+B(1-\sqrt7) \end{cases} { 1=A+B0=A(1+7)+B(1−7)
~~~~~ 解得， A = 7 − 7 14 , B = 7 + 7 14 A=\frac{7-\sqrt7}{14},B=\frac{7+\sqrt7}{14} A=147−7,B=147+7.
~~~~~ 故， a n = ( 7 − 7 ) ( 1 + 7 ) n + ( 7 + 7 ) ( 1 − 7 ) n 14 a_n=\frac{(7-\sqrt7)(1+\sqrt7)^n+(7+\sqrt7)(1-\sqrt7)^n}{14} an=14(7−7)(1+7)n+(7+7)(1−7)n
~~~~~ 特别地，
~~~~~ a 2003 = ( 7 − 7 ) ( 1 + 7 ) 2003 + ( 7 + 7 ) ( 1 − 7 ) 2003 14 a_{2003}=\frac{(7-\sqrt7)(1+\sqrt7)^{2003}+(7+\sqrt7)(1-\sqrt7)^{2003}}{14} a2003=14(7−7)(1+7)2003+(7+7)(1−7)2003