2008，意大利数学奥林匹克 染色

题面

       ~~~~~~       一个 $(n-1)\ast (n-1)$ 方格表被分成 $(n-1)$ 个单元格，这些单元格得 $n^2$ 个顶点中得每一个被染成红色或蓝色. 求不同的染色方法的数目，使得每个单元格的顶点中恰有两个红点（在两种染色方法中，至少有一个点被染的颜色不同就认为是两种不同的染色方法）.

解答

       ~~~~~~       第一行的点两种情形：（1）颜色交替（2）两相邻点同色

       ~~~~~~       第一种情形：每一行与上一行染色方式相同或完全相反，共有$2^n$种不同的染色方法

       ~~~~~~       第二种情形：第一行共有$2^n-2$种不同的染色方法，后面均由第一行唯一确定，共有$2^n-2$种不同的染色方法.

       ~~~~~~       综上，共有$2^n+2^n-2=2^{n-1}-2$种不同的染色方法.