【ACWing】323. 战略游戏

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/325/

鲍勃喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏，但有时他找不到解决问题的方法，这让他很伤心。现在他有以下问题。他必须保护一座中世纪城市，这条城市的道路构成了一棵树。每个节点上的士兵可以观察到所有和这个点相连的边。他必须在节点上放置最少数量的士兵，以便他们可以观察到所有的边。你能帮助他吗？

输入格式：
输入包含多组测试数据，每组测试数据用以描述一棵树。对于每组测试数据，第一行包含整数$N$，表示树的节点数目。接下来$N$行，每行按如下方法描述一个节点。
节点编号：(子节点数目) 子节点 子节点 …
节点编号从$0$到$N-1$，每个节点的子节点数量均不超过$10$，每个边在输入数据中只出现一次。

输出格式：
对于每组测试数据，输出一个占据一行的结果，表示最少需要的士兵数。

数据范围：
$0<N\le 1500$

思路是动态规划。设$f[i][0,1]$分别是以$i$为根的子树中，不取$i$和取$i$两种情况下，分别需要的最少士兵数。设$i$的孩子分别是$x_1,...,x_n$，当求$f[i][0]$的时候，由于$i$是不取的，那么其所有孩子都必须取，以保证$(i,x_{1,...,n})$这些边是覆盖的，所以有：$$f[i][0]=\sum _{1\le k\le n}f[x_k][1]$$当求$f[i][0]$的时候，由于$i$是取的，所以其每个孩子可取可不取，所以有： f [ i ] [ 1 ] = 1 + ∑ 1 ≤ k ≤ n max ⁡ { f [ x k ] [ 0 ] , f [ x k ] [ 1 ] } f[i][1]=1+\sum _{1\le k\le n}\max\{f[x_k][0],f[x_k][1]\} f[i][1]=1+1≤k≤n∑​max{ f[xk​][0],f[xk​][1]}代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1510;

int n;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int f[N][2];
bool is_root[N];

void add(int a, int b) {
    
    
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void dfs(int u) {
    
    
    int c0 = 0, c1 = 1;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
    
    
        int j = e[i];
        dfs(j);

        c0 += f[j][1];
        c1 += min(f[j][0], f[j][1]);
    }

    f[u][0] = c0;
    f[u][1] = c1;
}

int main() {
    
    
    while (scanf("%d", &n) != -1) {
    
    
    	// 重置一下各个数组
        memset(h, -1, sizeof h);
        memset(is_root, true, sizeof is_root);
        memset(f, 0, sizeof f);
        idx = 0;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            int id, cnt;
            scanf("%d:(%d)", &id, &cnt);
            for (int j = 0; j < cnt; j++) {
    
    
                int a;
                cin >> a;
                add(id, a);
                is_root[a] = false;
            }
        }

        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (is_root[i]) {
    
    
                dfs(i);
                cout << min(f[i][0], f[i][1]) << endl;
                break;
            }
    }

    return 0;
}

每组数据时空复杂度$O(N)$。