Codeforces 1499D. The Number of Pairs(数学)

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题意:

给出你$c,d,x$求符合$c\ast lcm(a,b)-d\ast gcd(a,b)=x$的$(a,b)$有多少种?

思路:

首先我们根据$c\ast lcm(a,b)-d\ast gcd(a,b)=x$ 裴蜀定理得到:

$$x是gcd(lcm(a,b),gcd(a,b)).$$

$$而gcd(lcm(a,b),gcd(a,b))等于gcd(a,b).$$

所以说gcd(a,b)是x的因子.所以我们可以枚举x的因子.

lcm=(x+d*gcd)/c

再看lcm/gcd.我们可以知道,是a,b多出来的质因数乘积,所以 质因子只能全部在a或者全部在b,因为我们一定除了gcd(a,b).

那么我们假设lcm/gcd一共n中质因子.那么我们就有2ⁿ构造方法.

那么我们就需要筛出2e7内的质因数种数.(利用类似埃式筛)

#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
#include <immintrin.h>
#pragma GCC optimize(2)
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
typedef pair<ll, ll> pii;
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl;
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)
#define repi(i,a,b) for(int i=int(a);i<=(b);++i)
#define repr(i,b,a) for(int i=int(b);i>=(a);--i)
const int maxn = 2e7 + 10;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define sf scanf
#define pf printf
const int mod = 998244353;
const int MOD = 10007;


int prime[maxn];
ll ans;
#define read read()
void init()
{
    
    
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
    
    
        if(!prime[i])
        {
    
    
            for(int j = i; j < maxn; j += i)
            {
    
    
                prime[j]++;
            }
        }
    }
}
void add(ll gcd,ll x,ll d,ll c)
{
    
    
    ll lcm=x+d*gcd;
    if(lcm%c==0)
    {
    
    
        lcm/=c;
        if(lcm%gcd==0)
            ans+=1LL<<prime[lcm/gcd];
    }
}

void solve()
{
    
    
	ll d,c,x;
	ans=0;
    scanf("%lld%lld%lld",&c,&d,&x);
    for(int i=1;i<=sqrt(x);i++){
    
    
    	if(x%i==0){
    
    
    		add(i,x,d,c);
    		if(i*i!=x){
    
    
    			add(x/i,x,d,c);
    		}
    	}
    }
    printf("%lld\n",ans);    
}

int main()
{
    
    
    init();
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
    
    
        solve();
    }
    return 0;
}