Codeforces 1499D - The Number of Pairs （数学）

Educational Codeforces Round 106 (Rated for Div. 2) D. The Number of Pairs

题意

给定三个正整数$c,d,x$，询问有多少对正整数对$(a,b)$，满足
$$c\cdot lcm-d\cdot gcd=x$$

限制

$1\le T\le 10^4$

$1\le c,d,x\le 10^7$

思路

对于原式
$$c\cdot lcm-d\cdot gcd=x$$
由$gcd$及$lcm$的数学性质，很容易得到一个结论：$lcm$定是$gcd$的倍数。

那么便能将上式化为
$$lcm=\frac{x+d\cdot gcd}{c}$$
右侧定是一个整数，即$x+d\cdot gcd$定是$c$的倍数

那么我们可以$O(\sqrt{x})$枚举$x$的所有因子作为$gcd$

由于$c,d,x$已知，在满足上述条件的前提下，可通过$gcd,c,d,x$直接计算出所匹配的$lcm$

问题现在便转化成了 “在已知$gcd$与$lcm$的前提下求有多少对整数对满足条件”

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从数学角度可知

$gcd(a,b)$是$a,b$的质因子的交集

$lcm(a,b)$是$a,b$的质因子的并集

那么$\frac{lcm}{gcd}$便是多出来的质因子的乘积

对于$\frac{lcm}{gcd}$的每种质因子，不论数量，都应该全数位于$\frac{a}{gcd}$或者全数位于$\frac{b}{gcd}$中

否则，这些质因子在$a$与$b$中同时出现，便会算在$gcd$中，于此时情况不符

所以如果我们想要构造$a,b$两个数，每种质因子只能够挑其中一个数乘进去

设$\frac{lcm}{gcd}$的质因子种类数为$n$，则能够构造出的整数对共有$2^n$种

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实践可得， 在线的质因子分解算法都将会完美地TLE 15

所以考虑离线处理每个数拥有的质因子种类数

这里的写法类似于埃氏素数筛法，详情见代码部分的$init$函数

注意$\frac{\frac{x}{gcd}+d}{c}$的数据范围理论上最大可能达到$2\cdot 10^7$

代码

(1075ms/2000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN=2e7;
int r[MAXN+50]; //记录每个数字的质因子种类数

void init()
{
    
    
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        if(!r[i]) //判断i是否为素数
        {
    
    
            for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)
                r[j]++; //i在范围内的倍数的质因子种类数++
        }
}

ll c,d,x,ans;

void add(int gcd)
{
    
    
    ll lcm=x+d*gcd;
    if(lcm%c==0)
    {
    
    
        lcm/=c;
        if(lcm%gcd==0)
            ans+=1LL<<r[lcm/gcd];
    }
}

void solve()
{
    
    
    ans=0;
    cin>>c>>d>>x;
    int s=sqrt(x);
    for(int i=1;i<=s;i++)
    {
    
    
        if(x%i==0) //枚举x的因子i
        {
    
    
            add(i);
            if(i*i!=x)
                add(x/i);
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
}

int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    init();
    int T;cin>>T;while(T--)
        solve();
    return 0;
}