Codeforces 55D Beautiful Number （数位dp）

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题意：

统计某段区间内满足它所有非零数位能整除这个数本身的数的个数。

思路：

首先这题要知道：一个数字要被它的所有非零位整除，即被他们的LCM整除。
然后，常见数位dp定义方式dp[len][presum]：表示长度为len并且前缀和为presum的满足条件数的个数。
所以这题根据题目要求的条件还需要一维状态记载前缀所有数的最小公倍数。{1~9}所有组合不同最小公倍数有48个，最大为2520.所以离散化处理48个不同最小公倍数。
状态定义就定义：dp[len][presum][prelcm]。
又由于presum范围9*10^18。而根据mod性质：
persum % LCM{digit[xi]} = 0
即 presum % MOD % LCM{digit[xi]} = 0
所以可以只需存presum % MOD，范围缩小了
而MOD就是{1~9}最大公倍数2520.
总的时间复杂度：状态数*决策数：19*2520*48*10

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=2520;
ll dp[20][2580][50];
ll gcd(ll a,ll b){return b==0? a : gcd(b,a%b);}
ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
int index[2580],dig[20];

void init(){
    int p=0;
    for(int i=1;i<=mod;i++){
        if(mod%i==0) index[i]=p++;
    }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
}

ll dfs(int pos,int presum,int prelcm,bool limit){
   if(pos<1) return presum%prelcm==0;
   if(!limit&&dp[pos][presum][index[prelcm]]!=-1) return dp[pos][presum][index[prelcm]];
   int ed=limit ? dig[pos]:9;
   ll ans=0;
   for(int i=0;i<=ed;i++){
      int nowlcm=prelcm;
      int nowsum=(presum*10+i)%mod;
      if(i) nowlcm=lcm(prelcm,i);
      ans+=dfs(pos-1,nowsum,nowlcm,limit&&i==ed);
   }
   if(!limit) dp[pos][presum][index[prelcm]]=ans;
   return ans;
}

ll solve(ll x){
    int pos=0;
    memset(dig,0,sizeof(dig));
    while(x){
        dig[++pos]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(pos,0,1,true);
}

int main(){
   init();
   int T;scanf("%d",&T);
   while(T--){
      ll a,b;scanf("%I64d %I64d",&a,&b);
      printf("%I64d\n",solve(b)-solve(a-1));
   }
}