jzoj6268. 【省选模拟8.10】贱

题目描述

Description

Input
一行两个整数n，k

Output
一行一个整数ans，代表答案，模1e9+

Sample Input
Sample Input 1
5 2

Sample Input 2
100 50

Sample Output
Sample Output 1
12

Sample Output 2
400502129

Data Constraint

题解

设f[i]表示至少染色i次后能全部染黑的方案数
那么答案$ans={\sum }_{i⩾0}f[i]-(n-k+1)!$
因为每种排列一共被算了(手贱次数+1)次，所以最后要减去排列数

k=1 or k=n

答案为0

k*2≥n

头尾放完后中间随便放，因为都能染黑

k=2

枚举i，组合数随便算
时间：O(n)

k≥1000

f[i]不好直接算
容斥，对于每个i求出有至少j个间隔≥m的方案，随便算算
这样剩下的只有间隔<k的方案
证明：
设有k个间隔≥k
那么被算的次数=${\sum }_{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i$
杨辉三角中，只有第一行奇数和-偶数和=1，其余都为0（当前行的奇/偶和=上一行奇+偶，初始奇=1欧=0）

时间：O(n²/k)，过不了30%所以要特殊处理

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define mod 1000000007
#define Mod 1000000005
using namespace std;

long long jc[1000001];
long long Jc[1000001];
long long w[1000001];
long long f[1000001];
int n,m,i,j,k,l;
long long ans;

long long qpower(long long a,int b)
{
    
    
	long long ans=1;
	
	while (b)
	{
    
    
		if (b&1)
		ans=ans*a%mod;
		
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	
	return ans;
}

long long C(int n,int m)
{
    
    
	return jc[n]*Jc[m]%mod*Jc[n-m]%mod;
}

int main()
{
    
    
	freopen("jian.in","r",stdin);
	freopen("jian.out","w",stdout);
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	
	if (n==m)
	{
    
    
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	
	jc[0]=1;jc[1]=1;
	Jc[0]=1;Jc[1]=1;
	w[1]=1;
	fo(i,2,n)
	{
    
    
		w[i]=(long long)mod-(mod/i)*w[mod%i]%mod;
		
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
		Jc[i]=Jc[i-1]*w[i]%mod;
	}
	
	if (m==1)
	{
    
    
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	
	if (m+m>=n)
	{
    
    
		f[0]=jc[2]*jc[(n-m+1)-2]%mod;
		fo(i,1,(n-m+1)-2)
		f[i]=C((n-m+1)-2,i)*jc[i+2]%mod*jc[(n-m+1)-2-i]%mod;
	}
	else
	if (m==2)
	{
    
    
		fo(i,(n-m-m-1)/m+1,n-m-1)
		f[i]=C(i+1,n-m-1-i)*jc[i+2]%mod*jc[(n-m+1)-(i+2)]%mod;
	}
	else
	{
    
    
		fo(i,(n-m-m-1)/m+1,n-m-1)
		{
    
    
			fd(j,min(i+1,(n-m-1-i)/m),0)
			if (!(j&1))
			f[i]=(f[i]+C(i+1,j)*C(n-m-1-i-j*m+(i+1)-1,(i+1)-1)%mod)%mod;
			else
			f[i]=(f[i]-C(i+1,j)*C(n-m-1-i-j*m+(i+1)-1,(i+1)-1))%mod;
			
			f[i]=f[i]*jc[i+2]%mod*jc[(n-m+1)-(i+2)]%mod;
		}
	}
	
	ans=f[0];
	fd(i,n-m-1,1)
	ans=(ans+f[i])%mod;
	ans-=jc[n-m+1];
	
	printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
}