jzoj 5843.【省选模拟2018.8.23】b 莫比乌斯反演

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Description
给定 n 个正整数序列$a_1,a_2,a_3,....,a_n$，每个序列长度为$m$。
选择至少 $1$ 个序列，在每个被选择的序列中选择一个元素，求出所有被选择的元素的$gcd$。
求所有方案的结果之和，答案对 1e9+7 取模。两种方案不同，当且仅当存在至少一个元素，在一种方案中被选择，在另一种中没有。

Input
第一行，两个正整数$n，m$。
接下来 $n$ 行，每行 $m$ 个正整数，第i 行代表序列 。

Output
第一行，一个整数，代表答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

$n<=20,m<=10^5,a_{i,j}<=10^5$

分析：
显然可以反演。
记$sum[i][j]$为第$i$个数列，元素是$j$的倍数的个数

$$ans=\sum_{i=1}^{maxa}i\sum_{d=1}^{i/d}\mu(d)*(\prod_{k=1}^{n}(sum[k][i*d]+1)-1)$$
然后换元，设 $T=i*d$，
$$ans=\sum_{T=1}^{maxa}(\prod_{k=1}^{n}(sum[k][T]+1)-1)\sum_{i|T}\mu(i)*(i/d)$$
后面那个就是 $\phi$，
$$ans=\sum_{T=1}^{maxa}(\prod_{k=1}^{n}(sum[k][T]+1)-1)\phi(T)$$
预处理可以 $O(nmlogm)$，后面计算是 $O(m)$的。
考场上并没有注意这个是 $\phi$，直接当做一般积性函数做了。

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define LL long long

const int maxn=22;
const int maxm=1e5+7;
const int maxa=1e5;
const LL mod=1e9+7;

using namespace std;

LL n,m,x,cnt;
LL prime[maxm],not_prime[maxm],low[maxm];
LL ans,sum[maxm],a[maxn][maxm],f[maxm];

void getmul(LL n)
{
    f[1]=1;
    for (LL i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            f[i]=i-1;
            low[i]=i;
        }
        for (LL j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (low[i]%prime[j]==0) low[i*prime[j]]=low[i]*prime[j];
                               else low[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i*prime[j]==low[i*prime[j]])
            {
                f[i*prime[j]]=(i*prime[j]-i)%mod;
            }
            else
            {
                LL x=low[i*prime[j]],y=i*prime[j]/x;
                f[i*prime[j]]=(f[x]*f[y])%mod;
            }
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        for (LL j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%lld",&x);
            a[i][x]++;
        }
    }
    for (LL i=1;i<=maxa;i++) sum[i]=1;
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        for (LL j=1;j<=maxa;j++)
        {           
            for (LL k=j+j;k<=maxa;k+=j)
            {
                a[i][j]=(a[i][j]+a[i][k])%mod;
            }           
            sum[j]=(sum[j]*(a[i][j]+1))%mod;
        }
    }   
    getmul(maxa);   
    for (LL i=1;i<=maxa;i++)
    {
        ans=(ans+(sum[i]+mod-1)%mod*f[i]%mod)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
}