【矩阵乘法】【模板】裴波拉契数列II

题目大意

求斐波那契数列第n项mod 10000的值。其中:
1< n < 2³¹

输入

123456789

输出

4514

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矩阵乘法

一个大小为 $a\ast b$ 的矩阵A与一个 $b\ast c$ 的矩阵B相乘，设C = AB，则C的大小为 $a\ast c$，且
$$C[i][j]=\sum _{k=1}^{b}A[i][k]\ast B[k][j]，其中(1<=i<=a,1<=j<=c)$$
看看这题。

$F[n]=F[n-1]+F[n-2]$

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设一矩阵为$【F[n],F[n-1]】$

则$【F[n],F[n-1]】=【F[n-1]+F[n-2],F[n-1]】$
$=【F[n-1],F[n-2]】\ast A$
$=【F[n-2],F[n-3]】\ast A^2$
$=...$
$=【F[2],F[1]】\ast A^{n-2}$

这个矩阵A需要我们自己列出来。

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据我的理解，我的矩阵A是这样的：

意思是，

$F[n]=(1\ast f[n-1])+(1\ast f[n-2])$
$F[n-1]=(1\ast f[n-1])+(0\ast f[n-2])$

所以一个1*2的矩阵，乘上A，就可以转到下一个状态。

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看回前面，
$【F[n],F[n-1]】=【F[2],F[1]】\ast A^{n-2}$
其中 $A^{n-2}$ 可以用快速幂来求。
时间复杂度就优秀了起来。

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代码

#include<cstdio>
int n;
struct asdf{
    
      //定义结构体
	int n,m;  //行数，列数
	int k[5][5];  //矩阵里的值
} A,B,C;
asdf operator *(asdf aa, asdf bb){
    
      //定义矩阵乘法
	asdf cc;
	cc.n = aa.n; 
	cc.m = bb.m;
	for(int i = 1; i <= cc.n; ++i)
	  for(int j = 1 ;j <= cc.m; ++j)
	    cc.k[i][j] = 0;
	for(int i = 1; i <= cc.n; ++i)  //枚举新矩阵c的每一格
	  for(int j = 1; j <= cc.m; ++j)
	    for(int l = 1; l <= aa.m; ++l)  //枚举k，即A的列，B的行。
		  cc.k[i][j] = (cc.k[i][j] + aa.k[i][l] * bb.k[l][j]) % 10000; //相乘，累计
	return cc;   //返回
}
asdf ksm(int l){
    
      //快速幂
	if(l == 1) return A;
	asdf ll = ksm(l/2);
	if(l % 2 == 0) return ll * ll;
	return ll * ll * A; 
}
int main(){
    
    
	scanf("%d",&n);  //输入
	A.n = 2; A.m = 2;
	A.k[1][1] = A.k[1][2] = A.k[2][1] = 1;  //初始化矩阵A
	B = ksm(n-1);
	printf("%d",B.k[1][1]% 10000);  //输出F[n]
} ```