P2014 [CTSC1997]选课（树上分组背包）

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题意： 有一颗以0为虚根的树，每个节点有一个权值，让你选择m个点（点0不算），让权值之和最大，前提是要选择一个点，他的父亲节点必选。

思路： 首先将点0的权值看成0，那么就是选m+1个点出来，并且必选0。然后考虑做背包。因为每个根节点的子树中，你可以选择选/不选这棵子树，并且如果选择这棵子树，这棵子树中只有一种方案可以被拿去做背包。所以我们考虑是分组背包。用$f[x][cnt][y]$表示以x为根节点的子树中，在x的前cnt个子树中，共合法地选择了y个节点时可以拿到的最大价值。那么可以推导出状态转移方程：

• $f[x][cnt][y]=max(f[x][cnt][y],f[x][cnt-1][y-k],f[v][si{z}_v][k])$

$v$表示第cnt个子树的根节点，$si{z}_v$表示子树v的子树个数。
我们可以考虑用滚动数组省去第二维空间，$f[x][y]$表示子树x中选了y个点时的最大权值和，但是需要注意循环的顺序。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
char *fs,*ft,buf[1<<20];
#define gc() (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
inline int read()
{
    
    
    int x=0,f=1;
    char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
    
    
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=gc();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
    
    
        x=x*10+ch-'0';
        ch=gc();
    }
    return x*f;
}
using namespace std;
const int N=3e2+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-7;

vector<int>e[N];
int f[N][N],fa[N],s[N],siz[N];

void dfs(int x)
{
    
    
    siz[x] = 1;
    f[x][1] = s[x];
    for(auto i:e[x])
    {
    
    
        dfs(i);
        for(int j=siz[x];j>=1;j--)//注意循环顺序，确保f[x][j]是上一层的
        {
    
    
            for(int k=1;k<=siz[i];k++)
            {
    
    
                f[x][j+k] = max(f[x][j+k],f[x][j]+f[i][k]);
            }
        }
        siz[x]+=siz[i];
    }
}

void solve()
{
    
    
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
    
        cin>>fa[i]>>s[i];
        e[fa[i]].pb(i);
    }
    dfs(0);
    cout<<f[0][m+1]<<endl;
}

signed main()
{
    
    
    solve();

    return 0;
}