Python数据结构之二叉树的遍历

1. 二叉树

1.1 二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树，它具有以下特点：
（1）树中每个节点最多只能有两棵树，即每个节点的度最多为2。
（2）二叉树的子树有左右之分，即左子树与右子树，次序不能颠倒。
（3）二叉树即使只有一个子树时，也要区分是左子树还是右子树。

1.2 满二叉树

满二叉树作为一种特殊的二叉树，它是指：所有的分支节点都存在左子树与右子树，并且所有的叶子节点都在同一层上。其特点有：
（1）叶子节点只能出现在最下面一层
（2）非叶子节点度一定是2
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，节点个数为： $2^{h}-1$ ，其中 h 为树的深度。

1.3 完全二叉树

若设二叉树的深度为 h，除第 h 层外，其它各层 (1～h−1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。其具有以下特点：
（1）叶子节点可以出现在最后一层或倒数第二层。
（2）最后一层的叶子节点一定集中在左部连续位置。
（3）完全二叉树严格按层序编号。（可利用数组或列表进行实现，满二叉树同）
（4）若一个节点为叶子节点，那么编号比其大的节点均为叶子节点。

2. 二叉树的相关性质

2.1 二叉树性质

（1）在非空二叉树的 i层上，至多有 $2^{i-1}$ 个节点 (i≥1) 。
（2）在深度为 h 的二叉树上最多有 $2^{h}-1$ 个节点（k≥1) 。
（3）对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为 $n_{0}$ ，度数为 2 的节点个数为 $n_{2}$ ，则有: $n_{0} = n_{2}+1$

。

2.1 完全二叉树性质

（1）具有 n 个的结点的完全二叉树的深度为 $log_{2}n+1$ 。.
（2）如果有一颗有 n 个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点 i，（1≥i≥n）有：
（2.1）如果 i=1 ，则节点是二叉树的根，无双亲，如果 i>1 ，则其双亲节点为 ⌊i/2⌋ 。
（2.2）如果 2i>n 那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为 2i 。
（2.3）如果 2i+1>n 那么节点没有右孩子，否则右孩子为 2i+1 。

3. 二叉树的遍历

以下遍历以该二叉树为例：

3.1 前序遍历

思想：先访问根节点，再先序遍历左子树，然后再先序遍历右子树。总的来说是根—左—右
上图先序遍历结果为为：1,2,4,8,9,5,3,6,7

代码如下：

def PreOrder(self, root):
        '''打印二叉树(先序)'''
        if root == None:
            return 
        print(root.val, end=' ')
        self.PreOrder(root.left)
        self.PreOrder(root.right)

3.2 中序遍历

思想：先中序访问左子树，然后访问根，最后中序访问右子树。总的来说是左—根—右
上图中序遍历结果为为：8,4,9,2,5,1,6,3,7

代码如下：

def InOrder(self, root):
        '''中序打印'''
        if root == None:
            return
        self.InOrder(root.left)
        print(root.val, end=' ')
        self.InOrder(root.right)

3.3 后序遍历

思想：先后序访问左子树，然后后序访问右子树，最后访问根。总的来说是左—右—根
上图后序遍历结果为为：8,9,4,5,2,6,7,3,1

代码如下：

def BacOrder(self, root):
        '''后序打印'''
        if root == None:
            return
        self.BacOrder(root.left)
        self.BacOrder(root.right)
        print(root.val, end=' ')

3.4 层次遍历（宽度优先遍历）

思想：利用队列，依次将根，左子树，右子树存入队列，按照队列的先进先出规则来实现层次遍历。
上图后序遍历结果为为：1,2,3,4,5,6,7,8,9

代码如下：

def BFS(self, root):
        '''广度优先'''
        if root == None:
            return
        # queue队列，保存节点
        queue = []
        # res保存节点值，作为结果
        res = []
        queue.append(root)

        while queue:
            # 拿出队首节点
            currentNode = queue.pop(0)
            res.append(currentNode.val)
            print(currentNode.val, end=' ')
            if currentNode.left:
                queue.append(currentNode.left)
            if currentNode.right:
                queue.append(currentNode.right)
        return res

3.5 深度优先遍历

思想：利用栈，先将根入栈，再将根出栈，并将根的右子树，左子树存入栈，按照栈的先进后出规则来实现深度优先遍历。
上图后序遍历结果为为：1,2,4,8,9,5,3,6,7

代码如下：

def DFS(self, root):
        '''深度优先'''
        if root == None:
            return
        # 栈用来保存未访问节点
        stack = []
        # res保存节点值，作为结果
        res = []
        stack.append(root)

        while stack:
            # 拿出栈顶节点
            currentNode = stack.pop()
            res.append(currentNode.val)
            print(currentNode.val, end=' ')
            if currentNode.right:
                stack.append(currentNode.right)
            if currentNode.left:
                stack.append(currentNode.left)          
        return res

参考：LLLiuye的博客----博客园