1.树

我们选择一种数据结构，不仅要能存储数据，而且要能体现数据之间的关系。目前数据主要有是三种关系一对一、一对多、多对多；之前我们讨论了线性表(数组、链表、栈、队列),其中的元素具有一对一的关系，通过元素之间左右相连来表达数据。为了表达具有一对多关系的数据，我们引进了树的概念。掌握树的关键就在于掌握这种不断延伸的一对多的关系。

下面我们介绍几种约定俗称的概念：

节点：树中的每一个元素称为节点

父节点（双亲节点）：产生其它节点的节点(即一对多中的一)，其往往是一种局部相对的关系，如图A、B、C、D中的A就是B、C、D的父节点

子节点：由其它节点产生的节点(即一对多中的多)，这也是一种局部相对关系，如图A、B、C、D中的B、C、D就是A的子节点

根节点：一棵树中最顶层节点(没有任何的父节点)，这是一种绝对的关系，相对于整棵树而言。如图中的A。

叶子节点：没有任何子节点的节点，这也是一种绝对的关系，相对于整棵树而言。如图中的K、L、F、G、M、I、J

子树：大树中所包含的小树，比如上面的树中B、E、F、K、L也构成了一棵树，称为子树。一棵树往往由多棵子树构成。

空树：没有任何节点的树

度：一个节点所拥有的子树数量，称为节点的度。即节点对应的分支树。各接节点中最大的度，称为树的度。

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层次：从根节点到最远子节点，经过的节点数量。比如上图中的A、B、E、K为最远路径，该树的层次为4

有序树和无序树：兄弟节点之间是有顺序，称为有序树。否则是无序树。如上面的图就是一棵有序树。请注意这里的有序并不表示兄弟节点间的大小关系，更多表示的是这种树是对兄弟元素间顺序敏感的，如果兄弟节点以不同的顺序排列，那么就代表不同的树。举个例子：12和21是不同的，虽然都有1、2两个元素，但是它们对顺序是敏感的，那就是有序；1+2和2+1，如果单以结果来评价，那么它是无序的。还有，不管是有序还是无序都是针对兄弟节点而言，父子节点都是有序的。

森林：多棵不想交的树称为森林，如上图中以B、C、D各自为节点的子树组成的集合就是一个森林。多棵树组成一个森林，大树中又往往包含着森林。

总结：树是一种存储一对多数据的数据结构，因为其形状类似于一颗倒挂的树而得名。一棵树中的第一个元素，我们称之为根节点，没有子节点的元素称之为叶子节点。多棵不想交的树形成的集合叫做森林。森林中有多棵树，一棵树中也可以包含森林。这些都是为了统一，人们约定俗成的一些概念。最核心的我们需要掌握一对多这个点，可以把它当做树的种子，所有的形式都是由他发出。

2.二叉树定义

二叉树是目前应用最广泛的树结构，没有之一。在面试中往往也是必考题，送分题或者送命题！二叉不是二愣子的意思，而是指其描述的是一对二的数据关系。并且其必须是有序树！如下图所示，将其具体的表示出来就是图a的样子。每个节点最后有两个度(即两个分支)。可以看出每一层最多有 $2^{n-1}$ 个节点。

3.满二叉树定义

所谓的满二叉树，就是说这棵二叉树满了(即所有的位置都有元素)。其实记住上面的就够了，如果实在要推的话还可以得到几个特性。1.叶子节点的个数为 $2^{n-1}$ ；2.除过最后一层，其它的节点数为 $2^{n-1}$ -1；

4.完全二叉树定义

完全二叉树就是一棵有点残缺的满二叉树，满二叉树是十全十美的话，它就是十全九美或十全八美、七美等。我们看到完全二叉树的最后一层节点并不要求填满。可以这么想满二叉树就是一种特殊的完全二叉树。

前几节中我们提到的数据结构堆，就是一棵完全二叉树。再唠叨一下其节点计算逻辑，我们定义下标是从0开始，一直父节点的下标为i,那么左子节点下标为 $2i+1$ ,右子节点下标为 $2i+2$ 。已知子节点下标为i，那么父节点的下标为 $floor((i-1)/2)$ 。

5.二叉树基本构造python实现

实现二叉树的方式有两种，顺序结构(一块固定大小的内存空间)和链式结构。本篇使用python中的列表来实现一个简单的二叉树。基本的思路：1.创建一个节点类，包含三个属性val(节点的值),left(左子节点),right(右子节点) 2.将所有的节点加入一个列表 3.遍历列表，找到每个元素的左右节点，并赋值。

class Node:
    def __init__(self,value,left=None,right=None):
        self.val = value
        self.left = left
        self.right = right
    def show(self):
        print(self.val,end='\t')

6.二叉树的前序遍历

前序遍历是一种从左往右的深度优先的遍历算法，遍历的顺序是根节点——>左子树——>右子树。之所以称为前序遍历是因为根节点是最先被遍历到的(个人理解)我们采用两种方式来实现。第一种递归方式,理解起来比较简单。如果是左子节点的话，输出当前节点并且继续穷尽其子节点。然后再穷尽右子节点。第二种方式是使用栈，先将右子节点入栈，再将左子节点入栈，弹出左子节点，继续遍历，直到没有左子节点再将右子节点弹出。

    # 前序遍历 递归实现
    # 根节点——>左子节点——>右子节点
    def pre_order_recursion(self,Node):
        Node.show()
        if Node.left:
            self.pre_order_recursion(Node.left)
        if Node.right:
            self.pre_order_recursion(Node.right)
    # 前序遍历 使用栈来实现
    def pre_order(Node):
        result = []
        stack = [Node]
        while stack:
            node = stack.pop()
            if node:
                result.append(node.val)
                stack.append(node.right)
                stack.append(node.left)
        return result

7.二叉树的中序遍历

中序遍历也是一种深度优先的算法，它的顺序是，左子树——>根节点——>右子树，因为跟节点是在中间被输出，所以称为中序遍历(个人理解)。具体的代码实现，我们只需要将前序遍历稍微的修改一下就可以了，具体如下。

def mid_order_recursion(Node):
    if Node.left:
        mid_order_recursion(Node.left)
    Node.show()
    if Node.right:
        mid_order_recursion(Node.right)

8.二叉树的后序遍历

后序遍历同样是一种深度优先算法，它的顺序是左子树——>右子树——>根节点，因为根节点最后输出所以称为后序遍历(个人理解)，具体代码如下，也是将上面的稍微修改即可。

def post_order_recursion(Node):
    if Node.left:
        post_order_recursion(Node.left)
    if Node.right:
        post_order_recursion(Node.right)
    Node.show()

8.二叉树的层次遍历

层次遍历是一种广度优先的算法，即从根节点开始从上到下，每一层从左到右遍历。实现的思路是，从上到下将当前层节点加入列表中，然后再将其左子节点、右子节点加入列表，不断进行循环。

def lever_order_recursion(Node):
    result = []
    current_node = [Node]
    while len(current_node) > 0:
        next_node = []
        for node_c in current_node:
            result.append(node_c.val)
            if node_c.left is not None:
                next_node.append(node_c.left)
            if node_c.right is not None:
                next_node.append(node_c.right)
        current_node = next_node
    return  result

总结：

本篇中我们首先讲到了树的概念，一种表示一对多数据关系的数据结构；由它推出了二叉树，每个节点最多有两个子节点的有序树。然后介绍了两种特殊的二叉树：完全二叉树和满二叉树，满二叉树也是一种特殊的完全二叉树。最后介绍二叉树的构建，以及常用的四种遍历方式：前序遍历(先遍历根节点，再遍历左子树、最后是右子树)、中序遍历(先遍历左子树，再遍历根节点，最后遍历右子树)、后续遍历(先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根节点)，这三种算法都是深度优先的算法。最后我们介绍了层次遍历，一种广度优先的算法，从上到下，从左到右的顺序遍历数据。本篇的代码均使用python实现。

茶话：

推荐一首我偶像的诗给大家，能感动中国人民一千多年的文字，极为平淡的语言，却每每让人泪流满面。

十年生死两茫茫，不思量，自难忘。千里孤坟，无处话凄凉。纵使相逢应不识，尘满面，鬓如霜。

　　夜来幽梦忽还乡，小轩窗，正梳妆。相顾无言，惟有泪千行。料得年年肠断处，明月夜，短松冈。

《江城子·乙卯正月二十日夜记梦》苏轼

常用数据结构之二叉树及树的四种遍历方式

1.树