非传统定点数（二）-- 余数系统（Residue Number System，RNS）

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非传统定点数（二）

余数系统（Residue Number System，RNS）

简介

RNS 系统考虑正整数基集 $\{m_1,m_2,\dots,m_l\}$ 的情况下定义，其中 $m_1$ 是相对（对偶）的质数。表示数字的动态范围 $M=\prod^L_{l=q}m_l$ ，对于有符号数， $X\in[-M/2,M/2]$ 。整数 $X$ 到通过 $x_l=X\ mod\ m_l$ 映射到 RNS数组 $(x_1,x_2,\dots,x_l)$ 。

假设 $\square$ 为加、减、乘运算，如果 $X,Y,Z\in Z_M$ 有：
$Z=X\square Y\ mod\ M$

例：

大多数 RNS 系统中采用小型 RAM 表或 ROM 表来实现整数到 RNS 数组的映射。实现除法或幅值缩放时，将 RNS 转回整数进行操作，使用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）与混合基数转换（Mixed-radix conversion，MRC）算法完成转换。通常设计所需要的 RNS 计算输出远小于动态范围 M，此时有一种称为 $\varepsilon-CRT$ 的高效算法实现实时转换。

索引算法

索引算法也是 RNS 的变化之一，其在某些方面和 LNS 相似。根据数论可知：存在一个本原元素，一个生成元 $g$ 也就是：
$a\equiv g^\alpha\ mod\ p$
这一公式可以生成 $Z_p$ 域内除零之外的所有元素。将索引 $a$ 与生成元 $g$ 和整数 $\alpha$ 之间的关系表述为 $\alpha=ind_g(a)$ ，为了表示 $a = 0$ 我们认为 $ind_g(0)=-\infty$ 。

索引乘法器（Index Multiplier）

假设 $a\times b=n$ ，RNS 数的乘法运算可以按照如下方式进行：

把 $a, b$ 映射到索引域， $\alpha=ind_g(a),\beta=ind_g(b)$
将索引数值相加并模 $p - 1$ ， $v=(\alpha+\beta)\ mod\ (p-1)$
将所得的和映射回到初始索引域中， $v=ind_g(n)$

示例：

一个 $p = 17, g = 3$ 生成的译码表如下所示

$a$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

$ind_3(a) $ $-\infty$ 0 14 1 12 5 15 11 10 2 3 7 13 4 9 6 8

计算 $a = 2, b = 4$ 的乘积：
$ind_3(2)+ind_3(4))\ mod\ 16=(14+12)\ mod\ 16=10$

查表可得 $10=ind_3(8)$ ，则得到结果 $2\times4=8$

$a$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$ind_3(a) $	$-\infty$	0	14	1	12	5	15	11	10	2	3	7	13	4	9	6	8

索引域中的加法

要在索引域中进行加法，一种方法是把索引 RNS 转换回 RNS 进行加法后再转换到索引域。另一种方法根据 Zech 对数。

定义： Zech对数
$Z(n)=ind_g(1+g^n)\lrarr g^{Z(n)}=1+g^n$
观察索引域中的求和运算：
$a+b=g^\alpha +g^\beta=g^\beta(1+g^{\alpha-\beta})$
可以改写成
$a+b=g^{\beta+Z(\alpha-\beta)}$

例：对于质数模 $p = 17, g = 3$ ，Zech 对数表如下：

$n$ $-\infty$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

$Z (n)$ 0 14 12 3 7 9 15 8 13 $-\infty$ 6 2 10 5 4 1 11

计算 $2 + 5$ ：
$2+5=3^{14}+3^5=3^5(1+3^9)=3^{5+Z(9)}=3^{11}\equiv7\ mod\ 17$

$n$	$-\infty$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$Z (n)$	0	14	12	3	7	9	15	8	13	$-\infty$	6	2	10	5	4	1	11

利用QRNS计算复数乘法

当使用 RNS 码对复数进行编码时，形成的数制称为复数 RNS（CRNS）。CRNS 进行复数加法时需要两次实数加法。CRNS 乘法需要四个实数乘积，一次加法和一次减法。但是当使用二次 RNS（QRNS）时，可以简化为两次乘法。

QRNS建立在 $p = 4 k + 1$ 形式的高斯质数已知性质的基础上，其中 $k$ 是正整数。 $Z_p$ 中多项式 $x^2+1$ 有两个根 $\hat J,-\hat J$ 其中 $\hat J,-\hat J$ 是属于余数类 $Z_p$ 的实整数。将一个 CRNS 转换为 QRNS 的过程如下：
$f(a+jb)=((a+\hat Jb)\ mod\ p,(a-\hat Jb)\ mod\ p)=(A,B)$
在QRNS中，乘法和加法按分量实现：
$(a+jb)+(c+jd)\lrarr(A+C,B+D)\ mod\ p$

$(a+jb)(c+jd)\lrarr(AC,BD)\ mod\ p$

绝对值的平方按以下方式实现：
$|a+jb|^2\lrarr(AB)\ mod\ p$
从 QRNS 转换为 CRNS 的过程如下：
$f^{-1}(A,B)=2^{-1}(A+B)+j(2\hat J)^{-1}(A-B)\ mod\ p$

例：

取高斯质数 $p = 13$ ，计算 $(2 + j) (3 + j 2)$

在 $Z_p$ 中二次方程 $x^2\equiv(-1)\ mod\ 13$ 有两个根：
$\hat J=5,-\hat J=-5\equiv8\ mod\ 13$
将数据转化为QRNS 编码：
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ (a+jb)&=2+j\\ …$

$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ (c+jd)&=3+j2\\…$

然后按分量实现乘法：
$(A,B)(C,D)=(AC,BD)\ mod\ p\equiv(0,8)\ mod\ 13$
接下来将 QRNS 转回 CRNS：

解方程 $2x\equiv1\ mod\ 13$ 和 $10x\equiv1\ mod\ 13$ 得 $2^{-1}\equiv7$ ， $(2\hat J)^{-1}=10^{-1}\equiv4$
$f^{-1}(0,8)=7(0+8)+j4(0-8)\ mod\ 13\equiv 4+j7\ mod\ 13$

下图给出 CRNS 和 QRNS 之间的映射关系