RNS (Residue Number System) 剩余数系统

RNS（Residue Number System）介绍

目前RNS并没有一个正式的中文名，若有，请各位大佬指正。

简介

简而言之，剩余数系统就是将一个大一点的数$A\in {\mathcal{Z}}_Q$，用好几个小一点的数来表示: A ← { a 0 , a 1 , . . . , a k } ∈ Z q i k , A\gets \{a_0,a_1,...,a_k \}\in \mathcal{Z}_{q_i}^k, A←{ a0​,a1​,...,ak​}∈Zqi​k​,
其中$a_0\equiv A\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}_0,a_1\equiv A\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}_1,\cdots ,a_k\equiv A\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}_k$。$Q=q_0\cdot q_1\cdots q_k$。要求$i\ne j,gcd(q_i,q_j)=1$，即$q_i$之间两两互素。

应用

剩余数系统目前我所知道的应用是用来进行大整数表示以及运算，比如目前的计算机系统中，int类型的数据结构是32/64比特的，那么假如我有一个235比特的数字$A\in {\mathcal{Z}}_Q,{\log }_2(Q)\approx 235,e.g.{\log }_2(Q)<252$，我就可以用4个63比特的int类型数据来表示这个大整数$a_0,a_1,a_2,a_3$。$a_i=A\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{q}_i\in {\mathcal{Z}}_{q_i}{\log }_2(q_i)=63$。
假设我要做两个252位以内的大整数的加法或乘法，比如$A\in {\mathcal{Z}}_Q,B\in {\mathcal{Z}}_Q$，$C=A+B$就可以表示为$c_i=a_i+b_i$，$C=A\times B$也就可以表示为$c_i=a_i\times b_i$，而如果采用中国剩余定理对$c_i$进行恢复的话，就可以得到正确的结果$C$。就我所知，算上拆分和CRT恢复的时间，也比直接在大整数运算上快。所以可以用RNS在计算机上来加速大整数的运算。

举例

假如有一个数157，而我们的计算机居然只支持表示5比特的数（假如），也就是他uint类型的UINT_MAX为$2^5-1=31$。那我们找到了这样两个互素的数17,23，那就可以将157表示为 { 4 , 19 } \{4,19\} { 4,19}，其中$4=157\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17,19=157\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23$。
通过中国剩余定理，我们可以来恢复一下原数，已知：
$$\{\begin{array}{r}4=x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17\\ 19=x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23\end{array}$$
那么可以求
$$x=4\ast 23\ast 3+19\ast 17\ast 19=6413\equiv 157\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(17\ast 23=391)$$
其中19是17模23的逆元，3是23模17的逆元。

那假如我们要计算$157+35=192\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}391$，以及$21=157\ast 35\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}391$
那我们将35也进行RNS表达为 { 1 , 12 } \{1,12\} { 1,12}，
$$\begin{gathered} 5=1+4\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17,8=19+12\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23 \\ 4=1\times 4\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17,21=19\times 12\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23 \end{gathered}$$
我们分别对 { 5 , 8 } \{5,8\} { 5,8}， { 4 , 21 } \{4,21\} { 4,21}进行CRT恢复，神奇的事情发生啦，恢复的结果正好为$192$和$21$。

这里举的例子可能不太恰当，因为$157\ast 35$已经超出了$17\ast 23$了，如果考虑用多个模数来表示，而不是两个，$157\ast 35$就不会超过$17\ast 23\ast 27\ast 29$，那么就可以得到正确的乘积值而不是模掉$391$的值了。