计算机中的浮点数
计算机中的float类型，有一篇文章写的很好，这里把它的一部分放过来：https://www.duote.com/tech/cyuyan/14691.html
根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
这里的s来自单词sign，是正负符号的意思，m来自于单词mantissa，意思是尾数，E来自于单词Exponent，意思是指数
也就是说，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。如下图所示
十进制里，我们是这么表示一个数的 X = (-1)^s * A * 10 ^ e，其中A在1~9之间，e是指数位，s是符号位，二进制的表示法也是类似的
在二进制计数法里：
- 符号位s是为了表示正负数，当s为1时表示负数，s为0时表示正数
- M是二进制表示的尾数，M的大小在0~8 388 607之间，(2^23 = 8388608)，
1+M/2^23就表示了2进制里科学计数法的有效数字位，范围在1.0~1.99999988之间，也就是说，浮点数能表示的最接近2的数是1.99999988 - E是二进制表示的位数，32位的float分配了8位的内存，所以E在0~255之间，不过由于指数位既要考虑到整数，还要考虑到小于1的小数，所以这里的E要减去移位符127，否则对于
2^E而言，这个数永远是大于1的
对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。如下图所示
下面举一个例子，将十进制的3.14159转换为浮点数存储起来。
首先需要将3.14159转换为2进制表示，这个就不多说了，小数部分，可以通过计算器得到，如下图所示：
可以看到结果很长很长，说明用2进制表示，这可能是一个无理数，只取前面的23位，11.0010 0100 0011 1111 0011 1110....换算成科学记数法，小数点往前挪一位，由于只移了一位，所以指数是2，所以是1.1001 0010 0001 1111 1001 111 * 2 ^1，这样就是小数点后面23位数，前面一位数，由于前面提到所有的数都可以写成(1 + M)* 2 ^E的方式，为了省一位的空间，这里整数部分的1我们可以不计，只选尾数部分（这就是mantissa叫做尾数的原因）
所以，符号位是0，尾数位是 1001 0010 0001 1111 1001 111，接下来差的就是指数位，这里的指数位很明显是1，因为我们刚刚只往前移了一位，所以值应该就是 1，再加上127的偏移量，得到的是1 + 127 = 1000 0000 = 128
到这里就完成了，也就是说，我们自己手动换算的表示结果为：
0 1000 0000 1001 0010 0001 1111 1001 111
^ ^ ^
符号位 指数位128 尾数位
我们可以在计算机里验证一下：0100 0000 0100 1001 0000 1111 1100 1111 转换成16进制是 0xcf 0f 49 40 ，然后我们创建一个包含四个字节的byte数组，然后把里面的数字拷进一个float变量里，代码如下所示：
int main()
{
float f;
// 由于堆栈的原因，这里要倒着写
unsigned char b[4] = {
0xcf, 0x0f, 0x49, 0x40 };
memcpy(&f, &b, sizeof(f));
cout << f <<endl;
cin.get();
}
就可以看到正确的结果啦！
十进制数转换到浮点数
步骤如下：
- 先把数转换成二进制，根据正负得到符号位s
- 然后把小数点移到正确的位置，如果往左移了n位，则指数e为n+127，右移n为，则指数e为-n + 127
- 然后把尾数部分存到用23个bit位表示的M上
把s e 和m三个值组合起来，就是最后的浮点数了
浮点数的精度问题
32位float，即单精度浮点数的有效位数是7位到8位之间，含七个数字的数都能精确被float类型表示，但由于它是科学计数法的方式，所以当数额很大或很小的时候，会产生严重的误差。
最后关于这个E还有一点要提，这个E有两个特殊的值，处理的时候是与正常结果不一样的，就是当E= 0000 0000 或 E = 1111 1111时，根据国际标准IEEE 754规定:
当E= 0000 0000 时
指数位为0了，如下图所示，意味着这里的指数达到了最小，
此时规定，这里的1不加了，此时的E -127不等于-127，而是等于-126，E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。
当E= 1111 1111 时
E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。
最难以理解的地方：E= 0000 0000 和E = 11111111
我始终理解不了，为什么有这么古怪的规定，后来慢慢明白了，有了这些规定，尽管int类型里我们无法表示无穷大和无穷小，但是通过浮点数，我们可以处理各种各样的数据类型，都不会报错
比如在C#代码中，下述操作不会报错：
C++也是同样没问题：
如果改变d1为0，则得到的结果是无效的，float对于这种数字，一样能处理：
所以说，这么设计浮点数，让浮点数能够广泛应用到所有的数字中，这样设计浮点数，容错率很高
定点数
前面提到了32位浮点数，只能表示七到八位有效数字，这个数值对于稍微大一点的数字误差就很大了，而且随着浮点数的不断累加，最后的误差可能会非常大
而且各个软硬件平台没有严格遵循IEEE754的标准，所以浮点数的运算难以在不同平台上完全同步
为了解决浮点数的不确定问题，这里介绍了定点数
定点数的定点就体现在一个32位bit数的小数点的位置上，对于浮点数，其小数点可以在任何一位上
对于浮点数，如下所示
// 不考虑符号位
1 . 0000 0000 0000 0000 0000 000
^ ^ ^
第一位默认是1 一开始的小数点默认在这里 后面的23位
然后额外的八位用来表示指数位，也就是说，由指数E的数值，可以让小数点向右移动128位，或者向左移动127位
而对于定点数，这个小数点就是固定的，如下图所示：
// 不考虑符号位
// 定点数在32位平台下用第一位表示符号位，接着的21位表示整数部分，最后的10位表示小数部分
000 0000 0000 0000 0000 00 . 00 0000 0000
^ ^ ^
前面是整数位，一共21位 小数点固定在这里 后面是小数位，一共10位
可以看到，定点数相当于把原本表示整数的int，拿出了10位用来表示小数，所以定点数表示的范围会比int类型小很多，其范围在-2097152.0~2097151.990234375之间