n倍角公式的行列式形式与证明

题目： 证明 $n$ 倍角公式
$$\cos nx={\left|\begin{array}{cccccc}\cos x& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2\cos x& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos x& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2\cos x& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\cos x\end{array}\right|}_{n\times n}\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$\sin nx={\left|\begin{array}{cccccc}\sin x& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 2\cos x& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos x& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2\cos x& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\cos x\end{array}\right|}_{n\times n}\text{\hspace{1em}(2)}$$

---

参考答案： 先证明

$$\cos (n+1)x=2\cos nx\cos x-\cos (n-1)x\text{\hspace{1em}(3)}$$

因为
$$\begin{array}{rl}\cos (n+1)x+\cos (n-1)x& =\cos nx\cos x-\sin nx\sin x+\cos nx\cos x+\sin nx\sin x\\ & =2\cos nx\cos x\end{array}$$

从而移项即可证明原式 $(3)$

使用数学归纳法证明式 $(1)$

当 $n=1$ 时，式$(1)$ 显然成立，假设当 $n⩽k$ 式，式 $(1)$ 成立，那么当 $n=k+1$ 时
$$\begin{array}{rl}{\left|\begin{array}{cccccc}\cos x& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2\cos x& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos x& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2\cos x& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\cos x\end{array}\right|}_{(k+1)\times (k+1)}A& \stackrel{\text{按最后一行展开}}{=}2\cos x{\left|\begin{array}{ccccc}\cos x& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 2\cos x& 1& \cdots & 0\\ 0& 1& 2\cos x& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2\cos x\end{array}\right|}_{(k\times k}-{\left|\begin{array}{cccccc}\cos x& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2\cos x& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos x& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2\cos x& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\cos x\end{array}\right|}_{(k-1)\times (k-1)}\\ & =2\cos x\cos kx-\cos (k-1)x\\ & =\cos (n+1)x\end{array}$$
符合式 $(1)$

$(2)$ 式同理可证

---

2021年2月10日12:54:22