看题目:
解答这题你需要知道行列式的两个性质:
1.对换行列式的两行(列),行列式变号。
2.行列式与它的转置行列式相等。
(1)先证D1和D的关系:
D1是由D上下翻转得到,因此D1的最后一行是D的第一行,把它依次与前面的行交换,直到交换到第1行,共进行(n−1)次交换;
这时D1的最后一行是D的第二行,把它与前面的行交换,直到交换到第2行,共进行(n−2)次交换;
直到D1最后一行是D的第(n−1)行,再通过一次交换将它换到第(n−1)行,这样就把D1变成了D,共进行
(n−1)+(n−2)+⋯+1=2n(n−1)
次交换,故
D1=(−1)2n(n−1)D
(2)再看D2:
观察可知,D2的第1,2,…,n行依次是D的第n,n−1,…,1列,
因此如果把D2上下翻转得D,
则D的第n,n−1,…,1行依次是D的第n,n−1,…,1列,
即D=DT.于是由(1)有
D2=(−1)2n(n−1)D=(−1)2n(n−1)DT=(−1)2n(n−1)D
(3)最后看D3:
观察可知,若把D3逆时针旋转90°得到D3,
则D3的第1,2,…,n列恰好是D的第n,n−1,…,1列,于是再把D3左右翻转就可以得到D.
由(1)(2)有
D3=(−1)2n(n−1)D3=D