一个多元函数微分学问题——特殊点的极限

试求解：

$$\underset{\frac{x\to 0}{y\to 0}}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$$

参考答案给出解法为取特殊值求解，令$y=x^2$，

原式变为：

$$\underset{\frac{x\to 0}{y\to 0}}{\lim }\frac{x^2{x}^2}{x^4+x^4}=\frac{1}{2}$$或不存在.

MATLAB绘图仿真：

clc,clear,close all
x = [-0.1:0.01:10];
y = [-0.1:0.01:10];
z = ((x.^2).*y)./(x.^4+y.^2);
plot3(x,y,z,'linewidth',2)
hold on
x=[0:0.01:1];y=[0:0.01:1];
z = ((x.^2).*y)./(x.^4+y.^2);
stem3(x,y,z,'m','linewidth',2)

可见在(x,y)取(1,1)附近峰值确实为$\frac{1}{2}$，但实际仿真中当$x\to 0,y\to 0$时，极限趋近于0，这时本产生疑惑难道极限不该趋近于0吗？

但当尝试绘制负半轴的区域时发现，函数值开始小于0!

这时才幡然醒悟：极限是一个过程，左右极限不相等即极限不存在（定义法求极限）！