halo~我是bay_Tong桐小白
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数据的表示和运算器总结——基本知识要点汇总
【更新日志】
最近更新：
- 更新内容——更新溢出的概念及判别方法（2021.1.1）
计算机统考408考纲要求
2021计算机统考408考纲计算机组成原理学科考察目标
- 理解单处理器计算机系统中各部件的内部工作原理、组成结果以及相互连接方式，具有完整的计算机系统的整机概念
- 理解计算机系统层次化结构概念，熟悉硬件与软件之间的界面，掌握指令集体系结构的基本知识和基本实现方法
- 能够综合运用计算机组成的基本原理和基本方法，对有关计算机硬件系统中的理论和实际问题进行计算、分析，对一些基本部件进行简单设计，并能对高级程序设计语言（如C语言）中的相关问题进行分析
2021计算机统考408计算机组成原理考纲变动情况
2021计算机统考408考纲对数据的表示和运算器部分考察要求
数制与编码
进位计数制及其相互转换
常用进位计数制：十进制、二进制、八进制、十六进制
进制相互转换：
-
R进制转换为十进制——权位相加
-
十进制转换为R进制——短除逆序取余
十进制纯小数的R进制转换——乘R取积整数部分
-
二进制与十六进制转换——直接转换
-
二进制与八进制转换——直接转换
整数部分从小数点向左，根据要转化的进制分组（如八进制3位一组，十六进制4位一组，不够在最左补0）
小数部分从小数点向右，根据要转化的进制分组（如八进制3位一组，十六进制4位一组，不够在最右补0）
真值和机器数
- 现实世界中的信息可以分为2大类：数值与非数值
- 机器数：数值要按照某种规则进行编码后在计算机中存储，这种存储在计算机中的编码被称为机器数。三种常见的机器数：原码、反码、补码
- 真值：机器数对应的实际数值被称为真值。同一个真值可以采用不同的二进制编码，也就是说同一真值可以有不同的机器数
BCD码
BCD码概念：用二进制编码来表示1个十进制数的每位数字，十进制数的每1位用4个二进制位来表示
【PS：BCD码为十进制数码，即运算规则按十进制“逢十进一”，存储方式按二进制形式存储，切不可混淆】
BCD码的格式：1个十进制数采用BCD码进行存储有两种不同的格式：非压缩的BCD码、压缩的BCD码
- 非压缩的BCD码：1个字节存储1个BCD码，一般占用字节的低4位，字节的高4位可以存储0000。不考虑符号，也就是只考虑无符号数，N个字节可以存储N个BCD码
- 压缩的BCD码：用1个字节存储2个BCD码，不考虑符号，只考虑无符号数，N个字节可以存储2xN个BCD码
BCD码表示有符号数与无符号数
BCD码可以表示无符号数，也可以表示有符号数。通常在BCD编码中
- 如果数值是无符号数，则用编码1111表示
- 如果数值是有符号数，正数用编码1100表示，负数用编码1101表示
对于压缩BCD码，可以把符号位的编码放在数值位编码的最右边或最左边（BCD码符号位一般不要求）
字符与字符串
校验码
数字信息在传输过程受到外界干扰，会产生错误，为发现或者改正错误，需要检测错误或者纠正错误的技术
- 检测错误技术：只发现错误
- 纠正错误技术：发现并纠正错误，恢复正确的信息
校验码（冗余位）：假定信息要从器件A传输到器件B，器件A在发送正常信息的同时需要发送额外的信息，这些额外的信息被称为校验码。器件B根据接收到的校验码，确定接收到的信息是否无误。常见的三种校验方法：奇偶校验、循环冗余校验、海明校验
奇偶校验
校验码占1位（理论上，校验码的位置可以放在信息的任意位置；为了方便通常将校验码放在信息的最前面或最后面，只需要信息的发送方与接收方约定好校验码的位置即可）
【PS：奇偶校验可以发现奇数个数据位的错误，不能发现偶数个数据位的错误；但实际上信息传输中，产生1个数据位的错误的概率更多，因此奇偶校验在实际中是有价值的，且奇偶校验方法简单】
循环冗余校验(CRC)
【详细后续更新……】
海明码(汉明码)（更新中……）
【详细后续更新……】
定点数的表示与运算
定点数的表示
小数点按约定方式标出
定点小数：小数点在符号位之后，有效数值部分最高位之前
定点整数：小数点在有效数值部分最低位之后
根据小数点的位置，可以把定点计算机分成两类：小数定点机、整数定点机
【PS:计算机中机器数的存储一定要考虑机器的字长位数】
有符号数和无符号数
无符号数：没有正负符号，只有数值部分
- 存储方式：只需将数值部分转换成二进制，利用寄存器或存储器按照规定的长度保存到计算机当中
- 整个机器字长全部二进制位均为数值位，机器字长n位 数的表示范围 0~2^n - 1
有符号数：带有正负符号部分以及数值部分，最高位为符号位
- 存储方式：将符号与数值这两部分存进寄存器或存储器当中
- 小数的存储：保存三个部分，即符号部分、小数点的位置、数值部分（小数点的位置并没有任何硬件专门进行存储，是通过最初硬件设计的约定规定好的，比如定点小数的小数点位置约定在符号位之后）
- 整数的存储：也保存三个部分，即符号部分、数值部分、小数点的位置（小数点位置约定在数值部分之后）
原码表示法
【最高位为符号位，0表示为正，1表示为负，书写时可以用“，”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开】
纯整数的原码表示：
纯小数的原码表示：
原码特点：简单、直观，但是运算不方便（0的表示不唯一、加减法操作不统一）
补码表示法
“补”的概念：一个负数加上“模”即可得该负数的补数
- 一个正数和一个负数互为补数时，它们绝对值之和即为模数
- 两个互为补数的数，分别加上模，结果仍互为补数
纯整数的补码表示：
纯小数的补码表示：
求补码快捷方式
- 当真值为正时，补码与原码相同
- 当真值为负时，补码可由原码除符号位外每位取反，末位加1求得（从补码转换为原码此规则同样成立）
- 已知[y]补，求[-y]补
方法：[y]补连同符号位在内，每位取反，末位加1，即得[-y]补
【计算机中的数据表示一般为补码表示】
反码表示法
纯整数的反码表示：
纯小数的反码表示：
求反码快捷方式：正数反码与原码相同；负数反码为原码除符号位外每位取反
移码表示法
移码的引入目的：补码表示很难直接判断其真值大小
移码和补码的比较：补码与移码只是符号位不同，数值位不变
移码的特点：0的表示唯一、最小真值的移码为全0、能方便地判断浮点数的阶码大小
【阶码相关内容详细见本文浮点数的表示（IEEE 754）】
符号扩展
定点数的运算
移位运算
移位运算的数学意义
- 由于小数点的位置在计算机中并没有任何硬件专门进行存储，计算机中的算术移位均为数据进行移位。数据左移，绝对值扩大；数据右移，绝对值缩小
- 在计算机中移位与加减配合能够实现乘除运算
- 有符号数的移位称为算术移位，无符号数的移位称为逻辑移位
算术移位规则
算术移位的硬件实现
逻辑移位规则
循环移位
原码定点数的加/减法运算
加法：先判断符号位，若符号位相同则绝对值相加，符号位不变；若符号为不同则做减法，绝对值大的数减去绝对值小的数，符号位与绝对值大的数保持一致
减法：减数符号位取反，之后按加法规则进行计算
补码定点数的加/减法运算
定点数的乘/除运算（更新中……）
【详细后续更新……】
溢出的概念及判别方法
溢出： 是指计算机进行算术运算产生的结果超出机器所能表示的范围。溢出有上溢和下溢之分。
在定点计算机和浮点计算机中，上溢和下溢的概念是不完全相同的
在定点计算机中，从正方向超过了数的表示范围，称为上溢；从负方向超过了数的表示范围，则称为下溢
在浮点计算机中，浮点数的表示范围主要由阶码来决定。不论数的符号是正还是负，若阶码从正的方向超出了阶码的表示范围，称为上溢；若阶码从负的方向超出阶码的表示范围，或者尾数为“0”时，统称为下溢
溢出的判别方法：
方法一：采用一位符号位，设A的符号为AS，B的符号为BS，运算结果的符号为SS，则溢出逻辑表达式为
方法二：采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出
即CS与C1不同时，有溢出发生。也即
溢出逻辑判断表达式V=CS异或C1，若V=0则表示无溢出，V=1表示有溢出
方法三：采用双符号位
浮点数的表示和运算
浮点表示引入的目的
- 定点表示编程困难，程序员需要调节小数点的位置
- 数的表示范围小，为了能表示两个大小相差很大的数据，需要很长的机器字长
- 数据存储单元的利用率往往很低
浮点数的表示及IEEE 754标准
浮点数的表示
IEEE 754标准
【详细后续更新……】
浮点数的加减运算
算术逻辑单元ALU
串行加法器和并行加法器（更新中……）
【详细后续更新……】
算术逻辑单元ALU的功能和结构
功能：进行多种算术运算（加、减、乘、除等）和逻辑运算（与、或、非、异或、移位、求补等）
基本结构：
持续更新中……
我是桐小白，一个摸爬滚打的计算机小白