【数据结构】B树

B树（B-tree、B-树）

B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现；

仔细观察B树，有什么眼前一亮的特点？

• 1 个节点可以存储超过 2 个元素、可以拥有超过 2 个子节点
• 拥有二叉搜索树的一些性质
• 平衡，每个节点的所有子树高度一致
• 比较矮

m阶B树的性质

数据库实现中一般用几阶B树？

• 200 ~ 300

B树 vs 二叉搜索树

B树 和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的；

多代节点合并，可以获得一个超级节点

• 2 代（当前节点 和 左右子节点）合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点（至少是 4 阶B树）
• 3 代（当前节点 和 左右子节点 的 孙子节点）合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8 阶B树）
• n 代合并的超级节点，最多拥有 $2^n$ 个子节点（ 至少是 $2^n$ 阶B树）

m 阶 B树，最多需要 $lo{g}_{2}m$ 代合并；

搜索

跟二叉搜索树的搜索类似：

1. 先在节点内部从小到大（从左到右）开始搜索元素
2. 如果命中，搜索结束
3. 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，然后重复步骤 1

添加 – 上溢

4阶B树

新添加的元素必定是添加到叶子节点：

插入 55：

插入 95：

再插入 98 呢？（假设这是一棵 4阶B树）

• 最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
• 这种现象可以称之为：上溢（overflow）

添加 – 上溢的解决(假设5阶)

上溢节点的元素个数必然等于 m；

假设上溢节点最中间元素的位置为 k

1. 将 k 位置的元素向上与父节点合并
2. 将 $[0,k-1]$ 和 $[k+1,m-1]$ 位置的元素分裂成 2 个子节点
3. 这2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（$┌m/2┐-1$）[m 除以 2 向上取整 减 1]

一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决

• 最极端的情况，有可能一直分裂到根节点
  

添加演示[上溢]

假设这是一颗 4阶B树 ，依次添加 98、52、54

删除

删除 – 叶子节点

假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可；

例：删除 30

删除 – 非叶子节点

假如需要删除的元素在非叶子节点中

1. 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
2. 再把前驱或后继元素删除

非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中；

• 所以这里删除的前驱或后继元素 ，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中
• 真正的删除元素都是发生在叶子节点中；

例：删除 60

删除 – 下溢

删除 22 ？（假设这是一棵 5阶B树）

• 叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（ $\ge ┌m/2┐-1$ ）
• 这种现象称为：下溢（underflow）

删除 – 下溢的解决

下溢节点的元素数量必然等于 $┌m/2┐-2$

如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 $┌m/2┐$ 个元素，可以向其借一个元素

• 将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置（最小位置）
• 用兄弟节点的元素 a（最大的元素）替代父节点的元素 b
• 这种操作其实就是：旋转
  

如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 $┌m/2┐-1$ 个元素

• 将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
• 合并后的节点元素个数等于 $┌m/2┐+┌m/2┐-2$，不超过 m − 1
• 这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播
  

删除演示[下溢]

假设这是一棵 5阶B树 ，删除22，会导致20，30下溢

4阶B树

4阶B树的性质：

• 所有节点能存储的元素个数 x ：1 ≤ x ≤ 3
• 所有非叶子节点的子节点个数 y ：2 ≤ y ≤ 4