【ACWing】893. 集合-Nim游戏

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/895/

给定$n$堆石子（每堆石子个数是$h_i$）和一个$k$个不同正整数构成的集合 S = { s 1 , . . . , s k } S=\{s_1,...,s_k\} S={ s1​,...,sk​}，现在有两个玩家轮流操作，每次可以从任意一堆石子中拿取$S$中存在的某个数字个数的石子，最后无法操作的人视为失败。问先手是否有必胜策略。

数据范围：
$1\le n,k\le 100$
$1\le s_i,h_i\le 10000$

先介绍$SG$函数（Sprague–Grundy函数）。我们可以将上面这样的游戏每个人面对的状态画成一个有向图（或者DFA，有限状态自动机），每个人面对一个局面的时候，他可以进行某种操作，使得对手面对的是下一个局面。显然这个图是无环的（因为$s_i\ge 1$，所以这个游戏必然会在有限步内结束）。$SG$函数是从状态集到非负整数的一个函数。对于无法操作的状态$S_i$，定义其函数值$SG(S_i)=0$，对于其它状态，定义 S G ( S k ) = m e x { S G ( t ) : S k → t } SG(S_k)=\mathrm{mex}\{SG(t):S_k\to t\} SG(Sk​)=mex{ SG(t):Sk​→t}其中$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$函数是指minimum excluded函数，其在非负整数集上面的定义是： m e x ( S ) = min ⁡ { n : n ∈ N − S } \mathrm{mex}(S)=\min\{n:n\in \mathbb{N}-S\} mex(S)=min{ n:n∈N−S}即不在$S$中的最小非负整数。那么$SG(S_k)$表示在$S_k$能走到的所有状态的$SG$函数值中，不在其内的最小非负整数。那么该有向图的每个状态都对应着一个$SG$函数。有如下结论：如果对于某个状态$S_k$，如果$SG(S_k)=0$，那么该状态是必败态；反之是必胜态。首先无法操作的状态的$SG$函数值确实是$0$，它们确实是必败态。接着，如果先手面对的是状态$S_k$并且$SG(S_k)\ne 0$，根据$SG$函数的定义，先手从$S_k$必然能走到状态$S_{k+1}$使得$SG(S_{k+1})=0$，而后手从$S_{k+1}$这个状态出发，必然走到的都是$SG$函数值是正数的状态，接着先手又可以走到$SG$值为$0$的状态，以此类推。这样先手总有办法每次都面对$SG$非$0$的状态，从而走到$SG$是$0$的状态，而后手总是面对$SG$是$0$的状态，而走到$SG$非$0$的状态。由于游戏在有限步内必然终止，所以最后的无法操作的状态必然是后手遇到的，所以先手有必胜策略。否则后手有必胜策略。这就导出一个结论，对于起始状态$S_0$，先手有必胜策略当且仅当$SG(S_0)\ne 0$。

接着考虑更加复杂的情形，如果是有若干个不同的状态图，也是两个玩家轮流玩，但是每次任意玩家都可以在其中任意一个图上进行操作。同样是无法操作了就判负。如果这些图的初始状态是$S_1,S_2,...,S_n$，Sprague–Grundy定理告诉我们，先手有必胜策略当且仅当$SG(S_1)\wedge SG(S_2)\wedge ...\wedge SG(S_n)\ne 0$。证明方法和经典Nim游戏的证明方法完全类似，参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/114006771。

对于这道题目，可以将每个石子堆看成一个有向图，状态就是当前石子个数。所以只需要算一下初始状态的$SG$函数值即可。这可以用记忆化搜索来做。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <unordered_set>
using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;

int k, n;
// s存能取哪些个数的石子，f[i]存初始石子数是i的状态的SG函数值
int s[N], f[M];

// 计算初始石子数是x的情况下的SG函数值
int sg(int x) {
    
    
	// 如果之前已经算出，则直接返回
    if (f[x] != -1) return f[x];
	
	// 记录一下从当前状态可以走到的那些状态的SG函数值
    unordered_set<int> set;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
    
    
        if (x >= s[i]) set.insert(sg(x - s[i]));
    }

	// 找到第一个不在set里的非负整数，这就是SG函数值
    for (int i = 0; ; i++)
        if (!set.count(i)) return f[x] = i;
}

int main() {
    
    
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < k; i++) cin >> s[i];
    cin >> n;

    memset(f, -1, sizeof f);

    int res = 0;
    // 计算一下以x为石子数的初始状态对应的SG函数值，并做异或
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }

    cout << (res != 0 ? "Yes" : "No") << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(k\max h_i)$，空间$O(\max h_i)$。