893. 集合-Nim游戏

Powered by:NEFU AB-IN

Link

893. 集合-Nim游戏

• 题意

  给定 n堆石子以及一个由 k个不同正整数构成的数字集合 S
  现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S，最后无法进行操作的人视为失败。
  问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

• 思路

  前置知识：

  1. Mex运算
     设S表示一个非负整数集合.定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数运算
     即: $mes(S)=minx$
     例如:S={0,1,2,4},那么mes(S)=3;
  2. SG函数
     在有向图游戏中,对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边,分别到达节点$y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot \cdot y_k$,定义SG(x)的后记节点$y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot \cdot y_k$的SG函数值构成的集合在执行mex运算的结果
     即: $SG(x)=mex(SG(y_1),SG(y_2)\cdot \cdot \cdot \cdot SG(y_k))$
     特别地,整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值,即 $SG(G)=SG(s)$
  3. 有向图游戏的和
     设$G_1，G_2,\cdot \cdot \cdot \cdot ,G_m$是m个有向图游戏.定义有向图游戏G,他的行动规则是任选某个有向图游戏$G_i$,并在$G_i$上行动一步.G被称为有向图游戏$G_1,G_2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,G_m$的和.
     有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数的异或和
     即: $SG(G)=SG(G_1)\oplus SG(G_2)\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus SG(G_m)$

  ---

  • 那么观察本题中，每堆石子就相当于一场有向图游戏，从最初的石子数，通过集合S的数，连到每个分支，然后从最后面的必输态（也就是sg=0）的状态，反推起点的sg值
    那么n堆石子，就相当于一场有向图游戏的和，就可以应用NIM游戏的结论
  • 运用NIM游戏的结论：可以理解为存在一个图的起点的值$s{g}_i$，可以缩到$s{g}_i\oplus x$（因为是mex函数嘛，对于每个点来说，所有比自己小的点都可以走到，所以一定可以缩到$s{g}_i\oplus x$）

  ---

  • 下面是画图的理解
    
  • 为什么记忆化搜索成立？
    因为在本题中，数字集合S不变，则sg函数不变，所以在对某场有向图游戏G，求sg(G)函数时，就可以用记忆化搜索，已经算过的sg值，就不用重复计算了
    

• 代码

  '''
  Author: NEFU AB-IN
  Date: 2023-03-21 21:12:31
  FilePath: \Acwing\893\893.py
  LastEditTime: 2023-03-21 22:02:29
  '''
  read = lambda: map(int, input().split())
  from collections import Counter, deque
  from heapq import heappop, heappush
  from itertools import permutations
  
  N = int(1e5 + 10)
  INF = int(2e9)
  f = [-1] * N
  # f 代表状态 因为S集合中的数的值最大为10000
  
  def sg(x):
      if f[x] != -1:
          return f[x]
  
      d = Counter()
      for i in s:
          if x >= i:
              d[sg(x - i)] = 1
  
      for i in range(INF):
          if d[i] == 0:
              f[x] = i
              return f[x]
  
  
  k = int(input())
  s = list(read())
  
  n = int(input())
  h = list(read())
  
  res = 0
  for i in h:
      res ^= sg(i)
  
  print("Yes" if res != 0 else "No")