【ACWing】891. Nim游戏

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/893/

给定$n$堆石子，两个玩家轮流操作，每次可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子，可以拿完但不能不拿。无法操作者视为失败。问先手是否存在必胜策略。

数据范围：
$1\le n\le 10^5$
$1\le x\le 10^9$
$x$是每堆石子个数

Nim游戏模型，有个结论，设每堆石子个数分别是$a_1,...,a_n$，那么当且仅当$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n\ne 0$的时候先手有必胜策略。

算法正确性证明：
首先容易证明所有$32$位整数与异或运算$\wedge$构成一个阿贝尔群，并且单位元是$0$（参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/104082406）。接下来证明三个结论：
1、如果$a_1=a_2=...=a_n=0$，那么$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n=0$。
这一点显然；
2、如果$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n\ne 0$，一定存在一种取法使得取完之后$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n=0$。
设$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n=x$，由于$x\ne 0$，我们取$x$的最高位的$1$，那么一定存在某个$a_i$在这一二进制位也等于$1$，并且$a_i\wedge x<a_i$（因为$a_i$的二进制最高位被清零了），所以我们可以从第$i$堆石子里取掉$a_i-(a_i\wedge x)$这么多石子，这样第$i$堆石子就剩下$a_i\wedge x$这么多石子，而$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge (a_i\wedge x)\wedge ...\wedge a_n=x\wedge x=0$，这样取完之后所有石子数异或就等于$0$了。
3、如果$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n=0$，那么无论怎么取，取完之后一定有$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n\ne 0$。
反证法，如果不然，设取的是第$i$堆石子，那么有$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge (a_i^{\prime })\wedge ...\wedge a_n=0$，由于$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge (a_i)\wedge ...\wedge a_n=0$，两边异或得$a_i\wedge a_i^{\prime }=0$，说明$a_i=a_i^{\prime }$，没取石子，这是不允许的。

由于这个游戏里石子个数一定会不断减少，所以游戏必然会结束。如果$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n\ne 0$，那么先手可以每次都使得后手面对$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n=0$的局面，而后手走完后，先手又会面对$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n\ne 0$的局面，这样一来，先手总能保持一直遇到异或非$0$的局面，而后手一定每次都遇到异或是$0$的局面，所以最后停止的时候也是后手遇到$a_1=...=a_n=0$的局面，这个局面里后手输，所以先手必胜。如果$a_1\wedge a_2\wedge ...\wedge a_n=0$，那么后手可以让先手每次都遇到异或是$0$的局面，所以后手有必胜策略，先手必败。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N];

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        cin >> a[i];
        res ^= a[i];
    }

    cout << (res == 0 ? "No" : "Yes") << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(n)$，空间$O(1)$。