【训练题33：字符串+数学】牛牛与字符串border | 2021牛客寒假算法基础集训营2

• 牛牛与字符串border

难度

$-\frac{28}{162}$
理解思路了确实简单，字符串小白我就无法赛内开这种题了呜
这个榜可能被带的太偏了…

题意

• 给一个只包含小写字母的长度为 $n$ 的串。给你一个正整数 $l$。
  你需要修改一些位置的字母，使得该串同时有长度为 $l、2l、3l、\cdots kl(kl<n)$ 的 $border$

• 所谓长度为 $k的border$，指的是该串的前缀串$s_0{s}_1...s_{k-1}$ 该串的后缀串 $s_{n-k}{s}_{n-k+1}...s_{n-1}$ 相同。

数据范围

$1\le l\le n\le 10^5$

思路

• 直觉告诉我们 (没有直觉) ，这么有多 $border$ 的话，该串大概率大部分子串都相同
  我们画一下图，看一下对于一般的情况的子串相同的情况：
  

• （1）首先，有一个长度为 $l$ 的 $border$，所以 $1$ 块和 $1^{\prime }$ 块相同。
  其次，如果有长度为 $2l$ 的 $border$，那么 $2_a$块和 $2_a^{\prime }$ 块相同， $2_b$块和 $2_b^{\prime }$ 块相同。
  但是由于 $1$ 块和 $2_a$ 块是同一个块，且 $1^{\prime }$ 块和 $2_b^{\prime }$ 块是同一个块
  故：$2_a$ 块和 $2_b$ 块和 $2_a^{\prime }$ 块和 $2_b^{\prime }$ 块都相同。
  以此类推，上图中每一个红色块都是相同的。
  （2）再考虑到最后块放满了，还剩下一个 $x$ 块
  这个块的长度易得为 $n-\lfloor \frac{n}{l}\rfloor \times l=n\%l$
  因为红色块和红色块都是相同的，而且红色块之间有重叠部分。这个时候，可以想到：最终的循环块的长度为 $\gcd (l,x)$
  怎么去证明呢？如果 $x$ 的长度正好是 $l$ 的约数，那么用几个蓝色块就可以填充一个红色块了。否则 $x\perp l$，那么我们最终的所有位置的元素都是相同的一个。

• 然后就有坑了。我们上述的思路是如果有长度为 $2l$ 的$border$。如果没有呢？
  
  那我们的循环区间就变成了 $n-l(等价于n\%l)$
  注意，此时的循环区间(蓝色)不一定是 $n$ 的因子，最后形成的串会多一个尾巴。

• 那么怎么实现呢？
  对于一个循环区间，如果循环节大小为 $g$，那么易得 $s_0,s_g,s_{2g}...$他们的字符一定是一样的，同时 $s_1,s_{g+1},s_{2g+1}...$ 他们的字符也是一样的。
  这个不就是模 $g$ 的完全剩余系吗？
  要求修改次数最少，我们就是求出对于所有位置 $i$，所有 $s_{i\%g}$ 的出现次数最多的是什么字符就可以了。

写完都要不认识 “块” 这个字了//

核心代码

时间复杂度：$O(26N)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 1e5+50;

int cnt[MAX][30];
char ans[MAX];
string ss;
int main()
{
    
    
    int T;cin >> T;
    while(T--){
    
    
        int n,k;	/// k 为上述的 l
        cin >> n >> k;
        cin >> ss;
        int g;
        if(n / k != 1)g = __gcd(n,k);		/// 有多种   border
        else g = n - k;						/// 只有一种 border
        if(g == 0){
    
    
            cout << ss << endl;
            continue;
        }
        
        for(int i = 0;i < g;++i)
        for(int j = 0;j < 26;++j)
            cnt[i][j] = 0;

        for(int i = 0;i < ss.size();++i)	/// 算出最终循环节每个位置的字符出现次数
            cnt[i%g][ss[i]-'a']++;

        for(int i = 0;i < g;++i){
    
    
            int mx = 0;
            char ch = 'a';
            for(int j = 0;j < 26;++j){
    
    
                if(cnt[i][j] > mx){
    
    
                    mx = cnt[i][j];
                    ch = 'a' + j;
                }
            }
            ans[i] = ch;
        }
        for(int i = 0;i < ss.size();++i)	/// 取众数
            cout << ans[i%g];
        puts("");

    }
    return 0;
}