哥德尔定理的背景知识1：戴德金的数观念——哥德尔逻辑与哲学之3
哥德尔的东西有点难度，但既然有了做的念头，也不能轻言放弃。有了这个目标，你就朝着这个目标逐渐逼近好了，即使到不了终点，在这个逼近的过程中，你总会有一些接触那些稀奇古怪符号的感受。虽说很多时候都是艰涩枯燥，但你也许正是在这种枯燥艰涩的逼近中，有可能学到一些抵抗这类枯燥的良方。在执着逼近的过程中，还可能有闪现灵光和文字魅力的时刻哩。只要有那么一点点，你的执着不就有了点收获，没有白费力气么？
Torkel的那本书，正在啃它的第二章：不完全性定理的一个概览。该章的第一节就是算术，而算术之中，如作者所言：
不完全性定理应用到的两个逻辑学的著名一阶理论，一个是皮亚诺Peano算术，或者简称PA，它是一种初等算术的形式理论，另一个是Zermelo-Fraenkel集合论，该集合论中带有选择公理ZFC。（Torkel本第17页）
Torkel的著作
而著名的哥德尔定理，它所证明的不完全性，首先是有关PA的两种不完全性。如果一个PA系统含有幂运算，这样的系统就简称为PE，它的不完全性，即所谓含幂运算的PE不完全性。而如果一个PA系统不含幂运算，这样的系统就直接称为PA，它的不完全性即所谓不含幂运算的PA不完全性。
我们小学就学过的普通算术，不就是不含幂运算的算术么？这样一种普世到家喻户晓、妇孺皆知的基础数学知识，竟然被欧洲人弄出个公理系统出来，岂不奇哉。一直都想知道这该是个什么弄法，这个PA为什么引发后来那么多智者去研究？但苦于无什么现成文献，想法就一直搁在那里。
哥德尔的东西，也是一直都在想，这吹得神乎其神的定理，得花点功夫弄清楚一点才好。现在算是开始了，前路依然漫漫，但好像是进步了那么一丁点。至少现在知道了，哥德尔的不完全性定理，首先指的就是上述两种算术系统，一个是PA的不完全性，另一个是PE的不完全性。这个知晓，随着相关文献越来越多的出现，似乎有一长串相关基本算术的链条，飘忽闪烁在你面前。你曾经有过的那些对于公理化算术的迷惑，也浮现在这串链条之上。现代算术理论，它来自哪里？何以在皮亚诺那里有公理化算术的成就呢？
于是，我关于哥德尔定理的思绪，不知不觉地回头后视，瞄向了现代算术理论的一个粗线条源流。从1500年开始，然后切入皮亚诺的PA。
标题一、从1500年起，数学家开始自然数的算术理论研究，但数字理论基础的精细考察，即分析算术的研究源于1870年代
世界的历史，据权威史家之说，应该从1500年左右开始。因为西班牙、葡萄牙开启的地理大发现时代，正好跨越这个时段的前后。正是这个地理大发现时代，整个地球的地域和海域才连通起来，人类才真正开始对这个地球，有亲历亲为而形成的感性认知。而这个时候的中国，恰处在明末，意大利的利玛窦就是在这段时间来到中国的。
地理大发现时代
而所谓现代科学，自然要包括算术理论的研究，大概也是从这个时代开始兴起。一本讨论算术理论的著作，名为《弗雷格 戴德金和皮亚诺论算术基础》，该书前言在交代著作起因的时候，也是这样一个时间的划界。
***毕竟，有关自然数{1，2，…，n，…}的算术，自1500年以来，一直被西欧数学家广泛运用。那么，为什么仅仅只是在19世纪的最后25年，才会有对于数字理论基础的认真严肃地考察呢？***（Gillies著《弗雷格 戴德金 皮亚诺论算术基础》 第1页）
Gillies的书说到了自然数算术理论研究的起点时间，接之就自然引申出一个为什么的问题。但他不打算回答这个问题，而是提及与这个问题有关的一个因素，他称之为所谓的分析算术（arithmetization of analysis），Gillies认为，正是对这个分析算术因素的研究，把人们引向算术基础。这个导向算术基础的时间段，恰恰产生于1870年代。
如何理解这个分析算术呢？我们得对数字的发展线索有一个基本的了解。这大概是一段有关人类基础性知识的常规历史，即人类的数字是如何演化的？
标题二、不断扩张的自然数，引发算术基础问题
何谓分析算术？看看数字这个与人类纠缠不休的东西，如何从自然数不断地扩大，不断地延展而成的各种数字类型（略去对于复数的陈述），虽然你还会有困惑，但你对这个观念，大概就会有点感知。
标题（一）数的扩张
标题1、自然数
首先是自然数natural number，一般认为自然数产生于4000年前，由美苏不达米亚和埃及地区的人们所使用。逐渐地，自然数不断跨越地域，也不断随时间而演化，成为全世界几乎通用的数字符号。
自然数可以从0开始，这是德国数学家、逻辑学家弗雷格的一种自然数观。印度人在公元六世纪左右发现数字0之后，0似乎当然看成为自然数的一部分。
但自然数也可以从1开始，我们关注的皮亚诺算术，皮亚诺的自然数就是把1作为自然数的起点。用数学的符号方式表示皮亚诺的一个自然数集合N，就可以表示为：
N={1，2，3，…，n，…}。
标题2、整数
我们十分熟悉的自然数运算：加减乘除，在进行运算的时候，减法会出现意外，数学上称为不封闭，例如1-2=-1，经过减法运算后得到的这个结果-1，它就不是自然数。那么这个-1是个什么数呢？为了使-1也是一种数字类型，于是就出现整数integer。一个整数集合Z，可以表示为：
Z={…，-n，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，n，…}。
整数中的负数曾经不被人理解，因为它没有任何物理基础。但很多弄数学的人，无法否认这个负数的存在。数字的应用与研究，因为这个没有物理基础的数字，它无视一些人的拒斥而顽强的存在，又发现整数运算中，也会出现自然数运算中同样的问题。于是，数字范围进一步地扩展，整数扩展为有理数。
标题3、有理数
整数的运算同样会出现不封闭现象，当使用除法用3来除以7的时候，这个3/7，就不再是整数，而是不属于整数的异类数。这又是一个不封闭，弄数学的人似乎总希望算术的运算法则无往不利，普世而行，整数由此而继续扩张，就出现了有理数rational number。
有理数的运算似乎产生更多的异常，于是数的扩张过程在更宽泛的范围重复。著名的等边直角三角形的斜边，若直角边为1，则斜边为根号2
。这个
显然不是整数，也不是有理数。圆周率的л也是如同一样的属性，那么这都是些什么样的数字呢？于是有理数继续扩展，出现了无理数。
标题4、无理数
据说，古希腊的毕达哥拉斯学派，2000多年前发现这个数的时候，规定秘而不宣。因为这个数太神秘了，简直就是上帝故意给人间带来的困惑，还是知道的人越少越好。
但对无理数的思考好像没有停止过，公元1500年是一个标志。自1500年之后，无理数和其它让人疑惑的异类数字一起，给数学家带来更多的麻烦。遗憾的是，一直到19世纪的最后25年，数学家对于这些异类数字，都没有找到一个坚实的逻辑基础。由此，有关算术的基础性问题，即究竟什么是数？如何来定义“数”这个对象？这类有关数字根源性的问题，开始引起一些数学家的关注。
恰是这个时期，古典逻辑学已经从传统转向为现代。欧美的逻辑学家，大都也是数学家的布尔，施罗德，皮尔斯，弗雷格等现代逻辑的开拓者，在算术运算中发现了可供逻辑所借用的不少基本术语。同样是这个时候，数学家，也包括一些逻辑学家对于数字基本问题的探究，出现诸多开创性的观念。无理数，这个异类数字类型，因为戴德金1872年发表的论文《连续性与无理数》，让算术基础问题的研究导向了一个全新的时代。
标题（二）R.戴德金的《连续性与无理数》
无理数，让数字的演化似乎暂且打住了。该如何去理解无理数，得有个东西应运而生。好像到了这个1870年代，正是在无理数这里，数学家碰到了绕不开的算术基础问题。这个基础问题依据我们对于心灵的感觉，也依据我们对于无限和可能的构想和创造。这种心灵感觉和创造性构想的图景，超越了笛卡尔在17世纪初开创的用几何直线来对数字进行的刻画与解释。1872年，德国数学家，高斯的关门弟子，R.戴德金，Richard Dedekind（1831-1916）发表《连续性与无理数》一文，依据我们心灵对于连续性的构想，给出了一幅充满心灵智慧的无理数蓝图。
戴德金照片
笛卡尔是身心二元论的哲学，戴德金为无理数设想的图景，好像偏离了这种身心二元论，更接近古希腊的柏拉图主义。勾勒一下戴德金的想象图景，应该是一件有趣味的事情，那似乎是一种从飘逸的哲学神思逐渐降临到实在数学世界的一次旅行。
欧氏几何的直线，一条没有断点，一直在连续的线条。这里的连续是什么意思呢？人们通常把直线上点的这种连续性，来和我们对于时间的理解相比较。
***时间乃是万物的真诠。因为时间爷爷不知跳跃，所以自然奶奶不作跳跃。我们绝不能想象出时间有中断，所以自然界就不能有突然生出的东西。时间顺流而去，在它的流逝中载着一切可以想象的事物。***（丹齐克著《数 科学的语言》第140页）
直线上点的连续性，大概“时间”就是一个样板。时间链条中的一时一刻，我们固然可以任意指定，但时间之流没有断点，它连续不断，你在时间链条中找不到空隙。出之庄周的成语“白驹过隙”，形容时间过得飞快，那是体察时间的主体感觉，并不是时间本身的中断和空隙。直线连续性的思考，自然联想到数字的连续性问题。1872年，导引出戴德金的一篇数学论文《连续性和无理数》，这篇论文的出现，也象征着一个数字新类型：无理数有了一种特别的定义。
连续性的时间
时间连续性的样本还在，但无理数所在的不是时间，也不完全是欧氏几何的直线之中。戴德金超越直线的形象描述，他更为抽象，形象的几何直线只是被他借用，他直接用心灵构想来搭建他的无理数观念。他关于连续性与无理数的遐思，体现在他那篇论文的以下一段引语之中。
***直线上的点的个体比之有理数域中的数的个体要丰富无限倍。…
所以，想用算术的方法以探求直线具有的诸现象，我们发现有理数是不够用的。如果数域需要具有如直线那样的完备性，或者如现在所说，具有那样的连续性，那绝对需要创造出一种新数以改进此种工具。…
我发现，连续性的精髓在其逆命题中，即在如下原则中：
…
直线之具有这种性质的假定，实在就是一个赋予直线以连续性的公理。我们据之以定义直线的连续性。如果空间有一种真实的存在，它并非天然地是连续的；如果它不是连续的，它的许多性质会照样不变。又如果我们确知空间是不连续的，谁也不能禁止我们当需要时在思想中填满其空隙使之成为连续的；这种填隙就在于创造新的点之个体，这就要依上述原理实行之。***（转引之，丹齐克著《数 科学的语言》第143页）
假定空间不连续，谁也不能禁止我们当需要时，在思想中填满其空隙，使之称为连续的。这就告诉我们，在戴德金那里，似乎是我们的观念构想，把数学家所运用的数字之间产生的空隙，给填充满似的。而这个心灵构想所获得的填充客体，那就是无理数。这也似乎应合了德国另一位数学家克罗内克的语录：上帝创造了整数，其余都是人类的作品。
标题（三）戴德金的无理数定义
戴德金定义无理数的创造性，是他创造了一个切割cut观念，如上述引文中提到的原则：
如果直线上所在的点分成两组，使一组中的每一点都在它组中每一点之左，那么，存在唯一的一点，它将线上的一切点划分为这样两组，也就把直线切割成两个部分。
简略地描述戴德金的无理数定义，可以说，这个戴德金切割，是依据有理数来定义无理数的。一条直线象征了全体实数，这里的实数就是有理数和无理数的总和。什么是无理数呢？无理数充满了我们的心灵刻画。我们把有理数全体看成一条两边都无端点的直线，所有有理数全都在这条直线上。我们把这条直线切割为两部分，一为A1类，一为A2类，这两个类都非空，不交，两类相加铺满整个直线，也就是全有理数。如果这种切割，切点r把A1类数处在直线上的r点之右，A2类数处在切点r之左，则A1类数全都大于A2类数。
那么什么是无理数呢？无理数乃是将一条代表实数的直线予以上述切割cut后，再进行分析获得的数。我们略去对应于某个数字的切点r，作为有理数的描述，仅简略描述r为无理数的情形。
1）设r处于A2类数之中，即直线左边的数类，
若A2类数中无最大有理数，则r为无理数。
2）设r处于A1类数之中，即直线右边的数类，
若A1类数中无最小有理数，则r为无理数。
戴德金对于无理数的这一切割之法，就“创造”了无理数这个数字类型。
标题三、固本原则和戴德金的数
戴德金的无理数定义，以及他关于连续性的设想，建立起了逻辑相容的实数概念。这就使得戴德金的切割，有可能成为名正言顺的数。
在数字的发展史上，数域的推广似乎隐藏着一个主导的扩展观念，这个观念后来称作“固本原则”，它依然是德国人的功劳。德国数学家赫尔曼.汉克尔Hermann Hanckel（1839-1873）在1867年首次明确提出。但该原则，更早可以回溯到发现四元数的爱尔兰数学家，罗万.汉密尔顿William Rowan Hamilton（1805-1865）那里。
汉克尔（1839-1873）
称一个符号集合为一个合法的数域，这个数域中的每一个单独元素为数，需要满足固本三原则。
原则1：可以找到一个与自然数序列相一致的序列。
原则2：可以建立等级机制标准，以判定元素间的相等，不等，大于，小于。
原则3：自然数的加乘运算及其法则可以运用。
（见《数 科学的语言》第78页）
戴德金的数字观念，显然满足这三个固本原则。而几乎与戴德金同一个时代，影响更大的另一位德国数学家康托（1845-1918），使用无限算法来产生数域，也对无理数进行刻画。两种不同出发点所获得的结果，却极其一致。这个结果可以表述为以下一段话：
直线上任何一点，都可以指定一个唯一的实数与之相当：反过来，任何一个实数都可以用唯一的方法以直线上的一点来表示。
这段话表述的，就是著名的戴德金-康托尔公理。
这个著名的公理，自然促进了算术基础问题的研究，大概是算术本身也能够公理化的一个前奏曲。