标题戴德金的数学归纳法定理证明，有哪些观念背景？——读戴德金之四
2021年读书的第一件事，就是弄明白一点戴氏的数归法。严格成型的数学归纳法，据说是1575年从意大利的一位数学学者(Maurolico)那里开始，距离今天大约有500年左右。发展到德国的戴德金那里，已经是19世纪末叶了。
在戴德金的数学随笔中，数归法被看作是一个定理，即他的随笔《数的意义与性质》一文中的定理59，戴德金称之为完全归纳法定理。但在我看来，这个定理好像是从一个普通的东西，英文为（thing）开始的，更像是用thing作为起点的一个故事。
你要理解戴氏数学归纳法定理证明的故事，先得有个故事背景才好展开。那么，我们就先从thing开始吧。
标题一、数学归纳法从东西（thing）开始，戴德金未予定义的一些基本概念
Thing应该翻译为中文的什么呢？物？物件？对象？东西？事件？客体？姑且把它看作是任意一个东西吧。这个东西，大概是这个世界上任意一个为人类所感知的对象，自然也包括人自身在内。这时候，“东西”也就成了对象。因为有了认知的主体，东西就成了认知的客体，对象的含义由此就出来了，自然，客体的含义也出来了。
东西thing
为了能够谈论东西（thing），人类自然是先给thing这东西一个符号串。不同语言，名称发音各不相同。说英语的人为客体起了thing这样一个名称，说中文的人，则给客体起了“东西”这样一个名称。而如何来谈论thing呢，也类似于不同语言不同名称，不同学科侧重点就各不相同。文学家的thing，大概是一个一个活生生的人。物理学家的thing，大概是一个一个可以测量分解的物体。数学家关注的客体主要是数，关注的自然主要是数一类的东西。但德国数学家戴德金，似乎有了thing之后，不是直接就和数相连，而是引发出一套相关于东西（thing）的概念。
戴德金那个时代，人类的智慧已经发展到用符号串表示某个存在的东西。世界上的几个大语言，彼时也大都已经成熟，并且已经可以互译互通。那么，这个thing，数学家的戴德金如何开始他的理解呢。且录下他的一段随笔：
为了很方便地谈论多个东西（things），我们用符号来规定它，例如用字母来规定它，我们冒昧地把一个东西（thing）简单地称作a，当我们的意思是指，这个由a来指称的东西（thing），它并不是指称的a字母自身的时候。一个东西（thing）就完全地被所有具有以下特征的对象所判定：这些对象可以被确定或者可以对其进行思考。
（戴德金《数理论随笔》第44页）
因此，通常就是一个字母，或者英文的，或者希腊文的，来表示指称的东西（thing）。谈论数字，那就更为经常的是用英文字母或者希腊字母。这篇博客，也是依照这样一种不知何时形成的惯例，总是用英文字母或者希腊字母来谈论东西（thing），谈论和东西（thing）相关的一些观念和命题。
有了这个表达东西（thing）的开场白，伴随这个表达某个东西（thing）的符号a，一步一步地，戴德金的随笔，出现了一连串英文字母符号和希腊文字母符号。
戴德金对于东西（thing）的思考，在用符号来指称单个对象之后，立刻就来了一个发散。若干个单独符号似乎是自然而然地被人的思维所合成，如果我用a，b，c，d，…等，表示不同的东西（thing），思维似乎有个天然地指向，要把这些不同符号给联系起来。这样联系的结果，用戴德金的语言，那就是构成了系统（system）。这个系统，一般用大写字母来表示，例如可以表示为S，A，T等等。戴德金这里的系统，和我们今天在逻辑或者数学中的系统似乎很不一样，他的系统是单纯元素的集成，好像无需什么组合这些元素的其它因素似的，有些类似于今日数学中集合的概念。
有了指谓单个东西（thing）的a和指谓更多东西的系统S，立刻就产生了另一个概念，与代表一个东西（thing）的英文字母a几乎等同的概念，a也可以称作S的元素（element）。当东西（thing）放进了数学家的视野时，表达不同东西（thing）的符号a，b，c，d，…等等，就给它们起了一个属于数学范围的名称：元素。
英语表达的特性是喜欢用意义相同，但字符不同的语词轮番出场的方式，来表达人们对于这个世界的种种看法。所以，随后我们就经常看到，我们不仅会说a，b，c，d，…等等符号分别是系统S的一个东西（thing），而且也经常会说，a，b，c，d，…等等符号分别是系统S中的一个元素（element）。
以上的背景观念犹如在讲一个随意的故事，thing，system和element这些观念，多种解释与理解都可以容纳，它们无需定义。接之，理解戴德金的数归法，我们就进入到需要定义的一些概念了。
标题二、初始观念的延申，戴德金给予了定义的一些概念
随笔第一节名为“元素的系统”，到了该节的第3点，戴德金开始引入定义，第一个定义是部分（part）。
标题1、部分、整体定义与运算符号的出现
什么是部分（part）？
部分（part）定义：
既然若干个元素的组合可以成为系统，系统的组合显然是多种多样的，最常见的似乎是系统中还有系统。
如果一个系统A中所包含的元素，也是系统S中的元素，系统A就是系统S中的一个部分。
这个部分概念的出现，继而引出了符号与符号之间进行运算的两个互为逆反的运算符号。
一个是：
包含于关系的定义：
如果系统A是系统S中的一个部分。这可以用符号表示为：。这表达了，A包含于S。
另一个是：
包含关系的定义：
这可以用反过来的符号表示，，这表达了，S包含了A。
由部分的定义，人的心灵又获得对应于部分的整体概念。
什么是整体（whole）？
整体（whole）定义：
如果一个系统A中所包含的元素，全都是系统S中的元素，系统S就是对应于系统A的整体。
真部分（proper part）定义：
如果系统A是系统S的部分，但又不同于S，则系统A是系统S的真部分。
这些基本概念定义，已经是当今的一些常识，无需多加说明。
标题2、公共（common）概念的出现
有了部分与整体定义，似乎天然地继续引发一些新的概念。若干个整体之间，有不有共有的部分呢？于是，以下概念产生了。
公共元素（common element）：
一东西（thing）g被说成是系统A、B、C的公共元素，如果g包含在这些系统中的每一个系统之中。那就是说：g被包含在A中，亦被包含在B中，也被包含在C中，所以，g就是这些系统共有的元素。
公共部分（common part）：
一个系统T被说成是系统A、B、C的公共部分，如果T是这些系统中每一个系统的部分。
共同体（community）：
如果一个系统G，它是由众多个系统A,B,C，…，等的所有公共元素g构成，并且，因此而同时可看作为由这些系统的公共部分所构成，则这个系统G可以表示为G(A，B，C…），这样一个系统，称之为共同体。
显然，如果仅有系统A,它的共同体就可以表示为G(A). 而且A=G(A)。
还有一个显然，当有若干个系统A,B,C时，这些系统没有公共部分或者公共元素，它们的共同体就是无意义的。这样的特殊情形，不在戴德金那个时候的考虑范围之内。
标题3、变换、等同变换、链和链共同体
现在开始有了第三类定义，使得我们定义的系统产生变化的一类定义。第一个让系统变化的概念，就是变化本身，英文为transformation，我将其翻译为变换。戴德金把这个变换，用希腊字母Φ来表示。
变换（transformation）：
一个系统S的变换Φ定义如下。
一系统S的变换Φ，是依据某个法则而形成的。依据这个法则，系统S中的每一个确定的元素s，都有一个同样确定的东西（thing）与之相对应，这个同样确定的东西（thing）就称为元素s的变换（transform），这个变换可以用符号Φ（s）表示。正是这个Φ（s），它对应于系统S的元素s。
因此，我们可以说：Φ（s）是通过变换Φ而产生的，而s则是通过变换Φ而实现了变换进入了Φ（s）。
就此而言，戴德金的这个变换，很有点类似于对某个客体摄影后形成的镜像，所以在《实数探原》那本书中，著者把这种变换称之为物之摄影，元素s是物之本原，而影摄之对象，即所谓物之影像，那就是Φ（s）（参见朱言钧编著《实数探原》第73页）。
等同变换（identical transformation）：
一个系统中的每一个元素，都变换为系统自身的对应元素，这样一种变换称之为系统的等同变换。
开始到戴德金数学归纳法的核心概念了。
链（chain）：
当一个系统K’K的时候，系统K就称为一个链（chain）。这应该告诉了我们，所谓链，无非是说一个系统，它一定得有属于这个系统的部分。一个系统中包含着另一个系统，这个过程不断连续的结果，自然是形成了一个前后延续没有断点的链条。
链共同体（community of all chains）：
如果A是S的任意部分，我们用A0表示S中所有链的共同体。因为有在前的共同体定义，可知，系统A本身是所有这些链的公共部分，所以这个A0链共同体是存在的。
标题三、链共同体的联想
最后一个定义有点抽象，链共同体以上的众多基本概念，基本上都没有涉及到数，因此无需数学知识储备即可领悟。而到达链共同体这个概念，虽然也没有提到数，但已经很有些数学玄机蕴藏其中了。
所有链条中的共同体，这很容易让人联想到向未来无限延申的时间，它的共同体在哪里呢？也很容易联想到永远也数不尽的数字，它的共同体又在哪里呢？还会联想到我们所面对的无限空间，空间的延申好像颇为玄妙，你也很难想象这种延申的共同体是什么。也许拿一条直线来比喻更为直观一些，但直线朝一个方向延申形成的链，它有所谓的链共同体么？对这个链共同体概念的思考，也许就是理解戴德金数学归纳法的一把锁匙。
的确如此，有了这些未予定义和给出定义的基本观念，戴德金数学归纳法定理59，我们就有了一个给出长长证明序列的基础。这个证明的任务，且留给下一篇博文。