本篇是描述统计学陷阱的最后一篇，我们来看下这六张图中最后一张，球员的收入。
F 球员的收入
同其他的系列文章一样，我们把最好的数据分布放在最后。
平均而言,一个橄榄球员每年约赚150万美元。
2017赛季999名球员的确切平均收入为148.9万美元。
而且，已知球员的收入存在一种分配机制，
那么，如前五张图带来的启示，这个整体的平均收入能代表多少的队员的个体收入水平呢？
回顾一下，平均值(这里指“算术平均值”)是整个分布中代表数据集中性程度的指标。
换句话说，如果我们把每个球员的实际工资换成148.9万美元的平均工资，
那么所有的人加起来将会得到与整个联盟球员相同的工资总额，也就是29.7亿美元左右。
倘若当真如此，很多球员一定会对这样的安排感到满意。
我们看下图中球员工资的分布，有三个最大的区间——0 - 49.9万美元，50万- 100万美元，100万- 150万美元——几乎与平均值持平或低于平均值。
事实上，在能够找到的2017赛季1999个球员的工资数据中，有1532个球员的工资低于平均工资。占全部球员数量的76.6%。
如果你预设他们每年能赚150万美元，那么绝大多数的球员会很无奈，当然他们会对这个平均收入数值会多想一会的。
但有些球员可能会面露鄙视的表情。比如四分卫柯克·考辛斯(Kirk Cousins)，他在2017年的收入接近2400万美元。他在这个柱状图中的最右侧，很不显眼，然而他的工资是这个均值的16倍。
如果用标准差来估计这个分布，柯克·考辛斯，比平均值要大10个标准差。
如果有一个球员的身高比平均身高高出这个标准，那么这个球员的身高就是8英尺4英寸。
相比之下，现在世界上最高的人（8英尺1英寸）也比他矮了整整3英寸。
该工资数据的标准差是225万美元，比平均值本身还要大。
正如所见，工资分配是一种完全不同的机制。既不是均匀分布，也不像正态分布。
而这就是与正态分布齐名的幂律分布，其在社会科学领域中无处不在。
试着想象一下每个社交媒体账户的粉丝数量分布情况：相对较少的一些账户数量，拥有着大量粉丝，
每个这样的账户都有成千上万的粉丝，而剩下的大多数账户每个可能只有几个或更少粉丝，
于是形成了一个令人难以置信的长尾。
很多事情都是如此，如书籍销售，网站访客，流媒体服务上的音乐，电影的播放量。
作为人类，我们会把大量的注意力、大部分的金钱和爱慕都倾注在相对较少的其他人和产品上。在人类生活的许多事情中，胜利者往往会得到丰厚的好处。
这就是为什么幂律分布常被说成遵循帕累托法则，或二八分成法则：80%的好处给了20%的人。
顺便说一句，数字80和20当然不是确定的数据了，
只是一种简单的数据修辞方式，让人们明白，相对较少的人得到了相对过多的收益。
以足球运动员的工资为例，我们现在考虑的是，工资的80%将由联赛前800名球员获得，也就是整个联赛的人数40%。
在整个联赛中，有整整一半的收入被214名球员拿下，也就是联盟总数的10%多一点。
如果我们画出每个队员的累计薪资，从薪资最高的玩家开始，比如左边的柯克·考辛斯，然后将下一个队员的薪资加到总薪资中，
以此开展，我们就能看到这个分布有多么倾斜，
如下图所示：
与此对比的是球员身高的累积分布，最高的，如前文提到的，Nate Wozniak被放置在最左边，
如下图所示
这几乎是一条完美的直线。
这里涉及另一种思考方法。如果你建立一个楼梯,每一步的高度是与每个队员的高度成正比, 从地面的第一步是最高的球员,顶部的最后一步是最矮的球员,从远处看整个楼梯几乎看不到什么不同。
如果做同样的事情，但是让每一步都是至此的每个球员的收入累计值。不难发现，楼梯会像上面的弧形一样剧烈弯曲。
结语
这里仅仅分析的是一个行业在某一个时间段的数据，就可以看到少数的大数值，仍然会大幅度高于平均水平。
事实上，服从幂律分布的收入数据分布涉及的群体对象和适用范围极为广泛,从所有的运动员，到地球上所有的人民， 这种分布完全并不像人的身高分布，更不像掷骰子。
至此，六个分布图，分析完毕，
应该说给了我们生动实例，表明中值或者平均值只能放在整体的视野下来看，如果非要用这些指标来给个体贴标签的话，恐怕一只脚已经踩到数据陷阱了。
下一篇，将为大家介绍统计推断方面的陷阱，敬请期待。
