gym-102861-A（概率DP）

题意

$每包贴纸拆开后可获得[a,b]张（均匀分布），现有一本容量为n的相册，现需填满相册,求拆开包数的期望。$

题解

$令dp[i]：获得i张卡牌所需的包数。$
$拆开1包至少获得a张贴纸，显然dp[1]\backsim dp[a]的值均为1。$

$对于dp[x],即为dp[x-b]\backsim dp[x-a]的均值+1。（拆开前一包时，获得a\backsim b张的概率均为\frac{1}{b-a+1}）$

$即：$
$$dp[x]=\frac{dp[x-b]+dp[x-b+1]+\cdots +dp[x-a-1]+dp[x-a]}{b-a+1}+1$$
$$dp[x]=\frac{pre[x-a]-pre[x-b-1]}{b-a+1}+1$$
$接下来只需循环着跑一遍求dp[n]即可$

$此外，当a=0时，公式左右均出现了dp[x]，解方程即可$
$$dp[x]=\frac{dp[x-b]+dp[x-b+1]+\cdots +dp[x-1]+dp[x-0]}{b+1}+1$$
$$dp[x]-\frac{dp[x]}{b+1}=\frac{dp[x-b]+dp[x-b+1]+\cdots +dp[x-1]}{b+1}+1$$
$$\frac{b\ast dp[x]}{b+1}=\frac{dp[x-b]+dp[x-b+1]+\cdots +dp[x-1]+b+1}{b+1}$$
$$dp[x]=\frac{dp[x-b]+dp[x-b+1]+\cdots +dp[x-1]+b+1}{b}$$
$$dp[x]=\frac{pre[x-1]-pre[x-b-1]+b+1}{b}$$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double dp[1006000],pre[1006000];//pre维护dp的前缀和
int n,a,b;
int main()
{
    
    
	cin>>n>>a>>b;
	for(int i=1;i<a;i++)dp[i]=1.0,pre[i]=pre[i-1]+dp[i];//每包打开获得至少 l 张贴纸，所以获得 1~a-1 张贴纸只需打开1包
	if(a>0)
	{
    
    
		for(int i=a;i<=n;i++)
		{
    
    
			dp[i]=1.0*(pre[i-a]-pre[max(0,i-b-1)])/(b-a+1)+1;
			//打开一包获得 a~b 张贴纸的概率相等，所以获得i张贴纸需要(dp[i-b]~dp[i-a])/(b-a+1)+1包
			//pre求解dp[i-b]~dp[i-a]的累加和,i-r-1<0时当成pre[0]来看，即包数为0包；
			pre[i]=pre[i-1]+dp[i];
		}
	}
	else//a=0时的情况
	{
    
    
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
    
    
			dp[i]=(1.0*(pre[i-1]-pre[max(0,i-b-1)])+b+1)/b;
			pre[i]=pre[i-1]+dp[i];
		}
	}
	printf("%.6lf",dp[n]);
    return 0;
}