概率DP/期望DP总结

概述

一般来说，概率DP找到正确的状态定义后，转移是比较容易想到的。但状态一定是“可数”的，把有范围的整数作为数组下标。事实上，将问题直接作为状态是最好的。如问“n人做XX事的期望次数”，则设计状态为f[i]表示i个人做完事的期望。转移一般是递推，即从上一个状态转移得（填表）或转移向下一个状态（刷表）。

练习题

涂格子1

n个格子，每次随机涂一个，求涂满m个格子的期望次数。

如概述所说，设计状态f[i]表示涂i个格子期望次数。转移时考虑这次是涂了的还是没涂的，从f[i]和f[i-1]转移来。转移方程为$f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-(i-1)}{n}f[i-1]+1(i<m)$。$i=m$时没有前面那项，因为一旦涂满动作就停止了。

涂格子2

n个格子，每次随机涂一个，求涂m次后期望涂色格子数。

如概述所说，设计状态f[i]表示涂i次后的答案。转移时考虑这次是涂了的还是没涂的。转移方程为$f[i]=\frac{n-(i-1)}{n}(f[i-1]+1)+\frac{i-1}{n}f[i-1]$。

小孩和礼物

有$n$个礼物盒和$m$个小孩，每个盒子里有一个礼物。所有人轮流开盒子，每次打开一个随机盒子，如果里面有礼物就拿走（如果被开过了就没有礼物了）。问所有人拿走礼物的期望数量。

一个礼物=一个打开过的盒子。f[i]表示i个人拿走礼物的期望，相当于表示涂i次期望涂色格子数量。同涂格子2。

麻球繁衍

开始有n个麻球，每天每个麻球会死亡，同时繁衍出若干新麻球。每个麻球繁衍i个麻球的概率是$p[i](0\le i< k)$。求在m天内麻球死绝的概率。

每个麻球是互相独立的，设计状态f[i]表示一个麻球i天内死绝的概率，则n个麻球在i天内死亡的概率是$f[i]^n$。转移时考虑这个麻球第一天繁衍多少个，它们在接下来的$i-1$天内死绝了。转移方程为$f[i]=\sum_{j=0}^{k-1}p[j]f[i-1]^j$。

亚瑟王的生日庆典

亚瑟王过生，他每天抛一枚硬币，正面向上的概率是$p$。办庆典要花钱，在第$i$天要花$(2i-1)$千元。求正面向上数$\ge k$次时的期望花钱数。

f[i]表示正面向上i次的期望花钱。转移时考虑是否掷到正面，容易列出转移$f[i]=(1-p)f[i]+p f[i-1]+正面向上i次当天期望花费$。
需要计算g[i]表示正面向上i次的期望天数，则当天期望开销=$2\times g[i]-1$。$g[i]=(1-p)g[i]+pg[i-1]+1$。

BZOJ4318 OSU!

开始有一个空串，每次添加一个0或1，添加1的概率为$p$。添加完后计算得分，每一段连续极长1段贡献$len^3$分。求最后期望得分。

转移时考虑是否增加1，如果增加了一个1，设当前期望连续1个数为$l$，那么答案应该增加$(l+1)^3-l^3$。因此还需要维护$l$和$l^2$的期望。维护$l^2$时同样考虑答案增加多少。

循环转移处理方法

有些DP方程之间会循环转移。可以高斯消元，或者设每个状态为形如$f[u]=a[u]f[fa]+b[u]f[0]+c[u]$，最后求出所有系数。

例题

单人博弈

有三个正多面体骰子，第i个有k[i]面。每次扔全部三个骰子，得到等同于它们的和的分数。如果三个骰子分别掷得a、b、c，则得分清零。求得分≥n时的期望次数。

设f[i]表示得i分的期望次数。转移时考虑三个骰子的和，先算出p[i]表示和为i的概率，p0表示得分清零的概率。用刷表法，转移方程为$f[i]=\sum_kp[k]f[i+k]+p_0*f[0]+1$。
我们看到，转移方程是与$f[0]$有关的。设$f[i]=a[i]f[0]+b[i]$，则可以解出$a[i]$和$b[i]$。