赛后题解——真假亚瑟王

C. 真假亚瑟王
题目描述

魔术师梅林在水晶球中预见了莫德雷德的叛逆，她决定在在莫德雷德叛逆之前采取一个有效的策略保护亚瑟王。
具体做法如下：使用魔法将亚瑟王复制成N份，当然，其中只有一个使真的。她认为这样就能有效的保护亚瑟王不被杀死。
为了自己能最终找到亚瑟王，她将所有的亚瑟王按1-N编号，并设定了一个密码数字X。真亚瑟王的编号是最接近N的且不能被2−X中任何一个数整除的数。（即真亚瑟王的编号的约数不再2−X中）。

输入

两个整数X,N，用一个空格隔开。

输出

真亚瑟王的编号。

样例输入

3 6

样例输出

5

样例输入

3 4

样例输出

1

样例输入

5 50

样例输出

49

提示

【数据范围】
对于30%的数据，$2\le X\le N\le 10$
对于60%的数据，$2\le X\le N\le 1000$
对于80%的数据，$2\le X\le N\le 10^5$
对于100%的数据，$2\le X\le N\le 10^9$

解决思路：分类讨论

提示：不合法代表一定不是答案，合法代表一定是答案。
已知：对于整数$n$，小于等于$n$且距离最近的素数离$n$不会太远，所以直接暴力枚举，判断素数即可。
第一类：$x^2\ge n$
1、因为一个合数肯定有一个小于等于根号的因子，所以小于等于$n$的所有合数的最小因子必然在区间$[2,x]$内，因此[$2,n]$的合数不合法。
2、$[2,x]$的每个数不合法。
综上所述，$[x+1,n]$的素数可能合法。
暴力判断小于等于$n$且距离最近的素数（前提是大于等于$x+1$或者大于$x$）
若存在素数，输出素数。
若不存在素数，输出$1$（由于$[2,n]$中没有一个数合法，只剩下数字$1$了）
第二类：$x^2<n$
1、因为一个合数肯定有一个小于等于根号的因子，所以小于等于$x^2$的所有合数的最小因子必然在区间$[2,x]$内，因此$[2,x^2]$的合数不合法，但是$[x^2+1,n]$的合数可能合法。
例如：$x=2，n=99$时，$99$合法但是是合数。
2、$[x+1,n]$的素数可能合法。
综上所述，从$n$开始往小于$n$的数开始判断，如果这个数是素数或者它不是$[2,x]$中任意数的倍数的话，输出这个数即可（直接枚举小于根号的因子判断是否在$[2,x]$内）

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define mod 77797
typedef long long ll;
const int N = 2e1 + 10;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

bool judge(int n, int x) {
    
    
	if (n == 1) return true;
	if (n >= 2 && n <= x) return false;

	for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
    
    
		if (n % i == 0) {
    
    
			if (i <= x) return false;
		}
	}
	return true;
}
bool isPrime(ll n) {
    
    
	if (n == 1) return false;
	for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
    
    
		if (n % i == 0) {
    
    
			return false;
		}
	}
	return true;
}

int main() {
    
    

	ll x, n;
	cin >> x >> n;

	if (x * x >= n) {
    
    
		while (n > x) {
    
    
			if (isPrime(n)) {
    
    
				cout << n << endl;
				return 0;
			}
			n--;
		}
		cout << 1 << endl;
		return 0;
	}
	else {
    
    
		while (n) {
    
    
			if (judge(n, x)) {
    
    
				cout << n << endl;
				return 0;
			}
			n--;
		}
	}
	return 0;
}